【行間を読む】猪木・川合「量子力学I」p. 102 (位置演算子の固有関数の具体形)

キーワード

• 位置演算子

• 固有方程式

該当箇所

解　座標演算子$${\hat{\bm{r}}}$$を関数に作用させるには、単にこの関数に$${\bm{r}}$$をかければよいから、

$$
\begin{array}{rcl}\hat{\bm{r}}\psi_{\bm{r}’}(\bm{r})&=&\bm{r}’\psi_{\bm{r}’}(\bm{r})\qquad\textcircled{a}\\\therefore\quad\psi_{\bm{r}’}(\bm{r})&=&C_{\bm{r}’}\delta(\bm{r}-\bm{r}’)\qquad\textcircled{b}\end{array}
$$

疑問

$${\therefore}$$の間の論理がわからない。

解説

まず位置演算子の定義から

$$
\hat{\bm{r}}\psi_{\bm{r}_0}(\bm{r})=\bm{r}\psi_{\bm{r}_0}(\bm{r})
$$

である。右辺の$${\bm{r}}$$は２つとも全く同一のものであることに注意。一方固有方程式から

$$
\hat{\bm{r}}\psi_{\bm{r}_0}(\bm{r})=\bm{r}_0\psi_{\bm{r}_0}(\bm{r}).
$$

従って

$$
\bm{r}\psi_{\bm{r}_0}(\bm{r})=\bm{r}_0\psi_{\bm{r}_0}(\bm{r})
$$

が全ての$${\bm{r}}$$について成り立っていなければならない。このためには

$$
{\bm{r}\neq\bm{r}_0\Longrightarrow\psi_{\bm{r}_0}(\bm{r})=0}
$$

が必要。ただし、$${\psi_{\bm{r}_0}}$$が恒等的に$${0}$$だと物理的に無意味であるから、妥当な形としては

$$
\psi_{\bm{r}_0}(\bm{r})=C_{\bm{r}_0}\delta(\bm{r}-\bm{r}_0)
$$

の形を選ばざるを得なくなる。