【行間を読む】猪木・川合「量子力学II」 p. 402 (Nボソン系の直和空間と調和振動子の空間との間における演算子の線形な対応関係)

キーワード

• 第二量子化

• Nボソン系

• 演算子の線形変換

• 表現

該当箇所

けっきょく、1体の演算子$${\sum_{i=1}^N\hat{o}_i^{(1)}}$$を生成・消滅演算子で表示すると、双1次な形$${\sum_{n,m}\hat{a}_n^\dagger\bra{\varphi_n}\hat{o}^{(1)}\ket{\varphi_m}\hat{a}_m}$$に書けることがわかった。

解説

双1次な形を計算すると、

$$
\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{n,m}\hat{a}_n^\dagger\bra{\varphi_n}\hat{o}^{(1)}\ket{\varphi_m}\hat{a}_m\\\displaystyle=\sum_{n,m}\hat{a}_n^\dagger\bra{\varphi_n}\sum_lo_{l,m}^{(1)}\ket{\varphi_l}\hat{a}_m&\because(11.53)\\=\displaystyle\sum_{n,m}\sum_lo_{l,m}^{(1)}\hat{a}_n^\dagger\bra{\varphi_n}\ket{\varphi_l}\hat{a}_m\\\displaystyle=\sum_{n,m}o_{n,m}^{(1)}\hat{a}_n^\dagger\hat{a}_m\end{array}
$$

と変形できる。これを$${V_0^{(N)}}$$の元にかけると、

$$
\begin{array}{l}\left(\displaystyle\sum_{n,m}\hat{a}_n^\dagger\bra{\varphi_n}\hat{o}^{(1)}\ket{\varphi_m}\hat{a}_m\right)\hat{a}_{n_1}^\dagger\cdots\hat{a}_{n_N}^\dagger\ket{0}\\=\displaystyle\left(\sum_{n,m}o_{n,m}^{(1)}\hat{a}_n^\dagger\hat{a}_m\right)\hat{a}_{n_1}^\dagger\cdots\hat{a}_{n_N}^\dagger\ket{0}\\=\displaystyle\left(\sum_no_{n,n_1}^{(1)}\hat{a}_n^\dagger\hat{a}_{n_1}\right)\hat{a}_{n_1}^\dagger\cdots\hat{a}_{n_N}^\dagger\ket{0}+\left(\sum_no_{n,n_2}^{(1)}\hat{a}_n^\dagger\hat{a}_{n_2}\right)\hat{a}_{n_1}^\dagger\cdots\hat{a}_{n_N}^\dagger\ket{0}+\cdots\\=\displaystyle\left(\sum_no_{n,n_1}\hat{a}_n^\dagger\right)\hat{a}_{n_2}^\dagger\cdots\hat{a}_{n_N}^\dagger\ket0+\hat{a}_{n_1}^\dagger\left(\sum_no_{n,n_2}\hat{a}_n^\dagger\right)\hat{a}_{n_3}^\dagger\cdots\hat{a}_{n_N}^\dagger\ket0+\cdots\\\displaystyle=\hat{O}^{(1)}\hat{a}_{n_1}^\dagger\cdots\hat{a}_{n_N}^\dagger\ket{0}\end{array}
$$

となって、(11.51)と同一になる。(11.51)は(11.52), さらには(11.54)の$${V_0^{(N)}}$$における表現になっているので、$${\sum_{n,m}\hat{a}_n^\dagger\bra{\varphi_n}\hat{o}^{(1)}\ket{\varphi_m}\hat{a}_m}$$は1体の演算子$${\sum_{i=1}^N\hat{o}_i^{(1)}}$$の表現である。