【行間を読む】山本義隆・中村孔一「解析力学I」 p. 101 (スクレロノーマスなラグランジュ方程式の導出)

キーワード

• ラグランジュ方程式

• 運動エネルギー

• スクレロノーマス

該当箇所

手始めに、方程式 (1.1.26) を次のように変形してみよう。その左辺は

$$
\begin{array}{l}m_{ij}\dfrac{d^2q^j}{dt^2}+C_{ijk}\dfrac{dq^k}{dt}\dfrac{dq^k}{dt}\\=m_{ij}\dfrac{d^2q^j}{dt^2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{∂m_{ki}}{∂q^j}+\dfrac{∂m_{ji}}{∂q^k}-\dfrac{∂m_{jk}}{∂q^i}\right)\dfrac{dq^j}{dt}\dfrac{dq^k}{dt}\\=\dfrac{d}{dt}\left\{\dfrac{∂}{∂\dot q^i}\left(\dfrac{1}{2}m_{jk}\dot q^j\dot q^k\right)\right\}-\dfrac{∂}{∂q^i}\left(\dfrac{1}{2}m_{jk}\dot q^j\dot q^k\right)\end{array}
$$

のように書き直される。(中略) 従って運動エネルギーの総和

$$
T=\frac{1}{2}m_{ij}\dot q^j\dot q^k
$$

を用いて、(後略)

疑問点

• (2.1.1) の変形

解説

1行目から2行目は (1.1.24) そのものである。

2行目の第2, 3項は$${j,k}$$が全く同等なダミーの添字になっているので等価な項である。ゆえに2行目から3行目は、

$$
\begin{array}{l}m_{ij}\dfrac{d^2q^j}{dt^2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{∂m_{ki}}{∂q^j}+\dfrac{∂m_{ji}}{∂q^k}-\dfrac{∂m_{jk}}{∂q^i}\right)\dfrac{dq^j}{dt}\dfrac{dq^k}{dt}\\=m_{ij}\ddot q^j+\dfrac{∂m_{ji}}{∂q^k}\dot q^j\dot q^k-\dfrac{1}{2}\dfrac{∂m_{jk}}{∂q^i}\dot q^j\dot q^k&(*)\end{array}
$$

である。まず$${q,\dot q}$$が独立であることに注意すると、右辺第3項は

$$
-\dfrac{1}{2}\dfrac{∂m_{jk}}{∂q^i}\dot q^j\dot q^k=-\dfrac{∂}{∂q^i}\left(\dfrac{1}{2}m_{jk}\dot q^j\dot q^k\right)
$$

で (2.1.1) 最終項に一致。また$${m_{ij}}$$が (1.1.22) で与えられるから$${∂m_{ij}/∂\dot q^k=0, dm_{ij}/dt=∂m_{ij}/∂q^k\:\dot q^k}$$であることに注意すると、(*) 右辺の前半2項は、

$$
\begin{array}{rcl}m_{ij}\ddot q^j+\dfrac{∂m_{ji}}{∂q^k}\dot q^j\dot q^k&=&\dfrac{d}{dt}(m_{ij}\dot q^j)\\&=&\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{2}m_{kj}\delta_i^k\dot q^j+\dfrac{1}{2}m_{kj}\dot q^j\delta_i^k\right)\\&=&\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{2}m_{jk}\delta_i^j\dot q^k+\dfrac{1}{2}m_{jk}\dot q^j\delta_i^k\right)\qquad\because m_{jk}=m_{kj}\\&=&\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{2}m_{jk}\dfrac{∂\dot q^j}{∂\dot q^i}\dot q^k+\dfrac{1}{2}m_{jk}\dot q^j\dfrac{∂\dot q^k}{∂\dot q^i}\right)\\&=&\dfrac{d}{dt}\dfrac{∂}{∂\dot q^i}\left(\dfrac{1}{2}m_{jk}\dot q^j\dot q^k\right)\end{array}
$$

となって (2.1.1) 右辺第1項に一致。

補足

(2.1.2) 右辺は

$$
\frac{1}{2}m_{ij}\dot q^j\dot q^k\longrightarrow\frac{1}{2}m_{ij}\dot q^i\dot q^j
$$

の誤植。