【行間を読む】猪木・川合「量子力学II」pp. 305-306 (磁場が0の場合のSchrödinger方程式)

キーワード

• ベクトルポテンシャル

• シュレディンガー方程式

• ゲージ変換

該当箇所

p. 305

静磁場中での粒子のSchrödinger方程式は、

$$
i\hbar\dfrac{∂}{∂t}\psi(\bm{x},t)=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\left(\nabla^2-\dfrac{ie}{\hbar c}\bm{A}(\bm{x})\right)^2\psi(\bm{x},t)\qquad(8.29)
$$

で与えられるが、…

（中略）

この場合は、8.2節で議論したように、$${\psi'(\bm{x},t)}$$を、

$$
\psi(\bm{x},t)=\exp\left[i\dfrac{e}{\hbar c}\chi(\bm{x})\right]\psi'(\bm{x},t)\qquad(8.30)
$$

によって定義すると、(8.28)は、

$$
i\hbar\dfrac{∂}{∂t}\psi'(\bm{x},t)=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi'(\bm{x},t)
$$

のように、自由粒子のSchrödinger方程式に変換される。

疑問点

計算

解説

(8.30)を実際に代入すると

$$
\begin{array}{rcl}&&i\hbar\dfrac{\partial\psi'(\bm{x},t)}{\partial t}e^{\frac{ie}{\hbar c}}\\&=&-\dfrac{\hbar^2}{2m}\left[\Delta-\dfrac{ie}{\hbar c}(\nabla\cdot\bm{A}+\bm{A}\cdot\nabla)-\dfrac{e^2}{\hbar^2c^2}\bm{A}^2\right]e^{\frac{ie}{\hbar c}\chi}\psi'\\&=&-\dfrac{\hbar^2}{2m}\left[\left(\Delta e^{\frac{ie}{\hbar c}}\right)\psi'+2(\nabla e^{\frac{ie}{\hbar c}})\cdot\nabla\psi'+e^{\frac{ie}{\hbar c}}\Delta\psi'-\dfrac{ie}{\hbar c}(\nabla\cdot\bm{A})e^\frac{ie}{\hbar c}\psi'\right.\\&&\left.-2\dfrac{ie}{\hbar c}\bm{A}\cdot(\nabla e^\frac{ie}{\hbar c})\psi'-2\dfrac{ie}{\hbar c}\bm{A}\cdot e^{\frac{ie}{\hbar c}}\nabla\psi'-\dfrac{e^2}{\hbar^2c^2}\bm{A}^2e^\frac{ie}{\hbar c}\psi'\right]\\&=&-\dfrac{\hbar^2}{2m}\left[\left(\nabla\cdot\dfrac{ie}{\hbar c}\nabla\chi\right)e^{\frac{ie}{\hbar c}}\psi'-\dfrac{e^2}{\hbar^2 c^2}(\nabla\chi)^2e^{\frac{ie}{\hbar c}}\psi'+2\dfrac{ie}{\hbar c}\nabla\chi e^{\frac{ie}{\hbar c}}\cdot\nabla\psi'\right.\\&&\left.+e^{\frac{ie}{\hbar c}}\Delta\psi'-\dfrac{ie}{\hbar c}(\Delta\chi)e^{\frac{ie}{\hbar c}}\psi'-2\dfrac{ie}{\hbar c}\bm{A}\cdot\left(\dfrac{ie}{\hbar c}\nabla\chi\right)e^{\frac{ie}{\hbar c}}\psi'\right.\\&&\left.-2\dfrac{ie}{\hbar c}\bm{A}e^{\frac{ie}{\hbar c}}\cdot\nabla\psi'-\dfrac{e^2}{\hbar^2c^2}(\nabla\chi)^2e^{\frac{ie}{\hbar c}}\psi'\right]\\&=&-\dfrac{\hbar^2}{2m}e^{\frac{ie}{\hbar c}}\psi'\end{array}
$$

となる。