【行間を読む】猪木・川合「量子力学I」p. 213 (運動量演算子の指数関数の作用)

キーワード

• 並行移動演算子

• 位置の固有状態の移動

該当箇所

また、$${\hat{p}\ket{q}=i\hbar\dfrac{∂}{∂q}\ket{q}}$$より、一般の$${c}$$に対して、

$$
\exp(ic\hat{p})\ket{q}=\exp\left(ic\left(i\hbar\dfrac{∂}{∂q}\right)\right)\ket{q}=\ket{q-\hbar c}
$$

であるが、

疑問点

二つ目の等号。

解説

p. 190 (6.53)と p.191 (6.58)から

$$
\ket{a+q}=\hat{U}(a)\ket{q}=\exp\left(\dfrac{1}{i\hbar}\displaystyle\sum_{i=1}^n{a_i\hat{p}_i}\right)
$$

であることに注意すると、

$$
\exp\left(ic\hat{p}\right)\ket{q}=\exp\left(\dfrac{1}{i\hbar}(-\hbar c\hat{p})\right)\ket{q}=\hat{U}(-\hbar c)\ket{q}=\ket{q-\hbar c}
$$