【行間を読む】猪木・川合「量子力学II」 p. 407 (フェルミオンの第二量子化における波動関数ケットの内積)

キーワード

• 第二量子化

• フェルミオン

• 反対称化

• スレーター行列

該当箇所

$${\hat{a}_n^\dagger\ket{n_1,n_2, \cdots,n_N}}$$と$${\ket{m_1,m_2, \cdots,m_{N+1}}}$$の内積は、

$$
\begin{array}{l}\bra{m_1,m_2, \cdots,m_{N+1}}(\hat{a}_n^\dagger\ket{n_1,n_2, \cdots,n_N})\\=\bra{m_1,m_2, \cdots,m_{N+1}}\ket{n,n_1,n_2, \cdots,n_N}&&&&\textcircled{a}\end{array}
$$

であるから、これがゼロでないのは、$${m_1,m_2,\cdots, m_{N+1}}$$が$${n,n_1,\cdots,n_N}$$の適当な置換になっているときである。とくに$${n}$$は$${m_1,m_2,\cdots, m_{N+1}}$$のどれかに等しいはずであるが、$${n=m_1}$$のときは、

$$
\textcircled{a}\text{の右辺}=\bra{m_2, \cdots,m_{N+1}}\ket{n_1,n_2, \cdots,n_N},
$$

$${n=m_2}$$のときは、

$$
\textcircled{a}\text{の右辺}=-\bra{m_1,m_3, \cdots,m_{N+1}}\ket{n_1,n_2, \cdots,n_N},
$$

という具合に、順に符号が変化するから、（後略）

疑問点

$${\textcircled{a}}$$の右辺の計算

解説

ここでは愚直に計算する方法とスレーター行列を使う方法の２通りを紹介する。

方針１　愚直に計算する方法

$${m_1=n}$$の場合を考えよう。$${\textcircled{a}}$$の右辺を定義によって反対称式に展開する。その際、$${\bra{m_1}}$$と$${\ket{n}}$$の位置が揃っていないものは直交性から$${0}$$になる。今はフェルミオンを考えているので、$${n_1=n_2}$$などの場合（ブラとブラの間、ケットとケットの間で同一のものが存在する場合）は考えなくて良いことに注意。したがって、$${\bra{m_1}}$$と$${\ket{n}}$$の位置を揃えて表記する。結果、

$$
\begin{array}{rl}&\bra{m_1,m_2, \cdots,m_{N+1}}\ket{n,n_1,n_2, \cdots,n_N}\\=&\hat{\mathscr{A}}(\bra{\varphi_{m_1}}\bra{\varphi_{m_2}}\cdots\bra{\varphi_{m_{N+1}}})\hat{\mathscr{A}}(\ket{\varphi_n}\ket{\varphi_{n_1}}\ket{\varphi_{n_2}}\cdots\ket{\varphi_{n_N}})\\=&\dfrac{1}{\sqrt{(N+1)!}}\displaystyle\left[\sum_{\sigma}\mathrm{sgn}(\sigma)\bra{\varphi_{m_1}}\bra{\varphi_{m_{\sigma(2)}}}\cdots\bra{\varphi_{m_{\sigma(N+1)}}}\right.\\&\displaystyle-\sum_\sigma\mathrm{sgn}(\sigma)\bra{\varphi_{m_{\sigma(2)}}}\bra{\varphi_{m_1}}\cdots\bra{\varphi_{m_{\sigma(N+1)}}}\\&+\cdots\\&\displaystyle\left.+(-1)^N\sum_\sigma\mathrm{sgn}(\sigma)\bra{\varphi_{m_{\sigma(2)}}}\cdots\bra{\varphi_{m_{\sigma(N+1)}}}\bra{\varphi_{m_1}}\right]\\&\displaystyle\times\dfrac{1}{\sqrt{(N+1)!}}\left[\sum_{\tau}\mathrm{sgn}(\tau)\ket{\varphi_{n}}\ket{\varphi_{n_{\tau(1)}}}\cdots\ket{\varphi_{n_{\tau(N)}}}\right.\\&\displaystyle-\sum_\tau\mathrm{sgn}(\tau)\ket{\varphi_{n_{\tau(1)}}}\ket{\varphi_{n}}\cdots\ket{\varphi_{n_{\tau(N)}}}\\&+\cdots\\&\displaystyle\left.+(-1)^N\sum_\tau\mathrm{sgn}(\tau)\ket{\varphi_{n_{\tau(1)}}}\cdots\ket{\varphi_{n_{\tau(N+1)}}}\ket{\varphi_{n}}\right]\end{array}
$$

となる。

右辺を展開して残るのは、第1因子の第1項と第2因子の第1項の内積、第1因子の第2項と第2因子の第2項の内積、…といった具合である。$${\bra{\varphi_{m_1}}, \ket{\varphi_n}}$$の位置を変えたことによって生じる負号は揃っているので、どの項も値は

$$
\begin{array}{cl}&\dfrac{1}{\sqrt{(N+1)!}}\sum_\sigma\mathrm{sgn}(\sigma)\bra{\varphi_{m_{\sigma(2)}}}\cdots\bra{\varphi_{m_{\sigma(N+1)}}}\dfrac{1}{\sqrt{(N+1)!}}\sum_\tau\mathrm{sgn}(\tau)\ket{\varphi_{n_{\tau(1)}}}\cdots\ket{\varphi_{n_{\tau(N+1)}}}\end{array}
$$

となる。かくなる項が合計$${N+1}$$個現れるので、めでたく

$$
\begin{array}{rl}&\bra{m_1,m_2, \cdots,m_{N+1}}\ket{n,n_1,n_2, \cdots,n_N}\\=&\dfrac{1}{\sqrt{N!}}\sum_\sigma\mathrm{sgn}(\sigma)\bra{\varphi_{m_{\sigma(2)}}}\cdots\bra{\varphi_{m_{\sigma(N+1)}}}\dfrac{1}{\sqrt{N!}}\sum_\tau\mathrm{sgn}(\tau)\ket{\varphi_{n_{\tau(1)}}}\cdots\ket{\varphi_{n_{\tau(N+1)}}}\\=&\hat{\mathscr{A}}(\bra{\varphi_{m_{\sigma(2)}}}\cdots\bra{\varphi_{m_{\sigma(N+1)}}})\hat{\mathscr{A}}(\ket{\varphi_{n_{\tau(1)}}}\cdots\ket{\varphi_{n_{\tau(N+1)}}})\\=&\bra{m_2, \cdots,m_{N+1}}\ket{n_1,n_2, \cdots,n_N}\end{array}
$$

を得る。

$${m_2=n}$$の場合は一度ブラの$${m_1,m_2}$$を入れ替えてから同じ計算をすれば、

$$
\textcircled{a}\text{の右辺}=-\bra{m_1,m_3, \cdots,m_{N+1}}\ket{n_1,n_2, \cdots,n_N}
$$

が得られる。

方針２　スレーター行列を使う方法

スレーター行列を使うと複雑だった表式が見事綺麗になる。まず$${\textcircled{a}}$$の右辺は

$$
\begin{array}{l}\bra{m_1,m_2, \cdots,m_{N+1}}\ket{n,n_1,n_2, \cdots,n_N}\\=\hat{\mathscr{A}}(\bra{\varphi_{m_1}}\cdots\bra{\varphi_{m_{N+1}}})\hat{\mathscr{A}}(\ket{\varphi_n}\cdots\ket{\varphi_{n_N}})\\=\dfrac{1}{N!}\sum_{\sigma}\mathrm{sgn}(\sigma)\bra{\varphi_{m_{\sigma(1)}}}\cdots\bra{\varphi_{m_{\sigma(N+1)}}}\sum_\tau \mathrm{sgn}(\tau)\ket{\varphi_{n_{\tau(0)}}}\cdots\ket{\varphi_{n_{\tau(N)}}}\\=\dfrac{1}{N!}\sum_{\sigma,\tau}\mathrm{sgn}(\sigma)\mathrm{sgn}(\tau)\bra{\varphi_{m_{\sigma(1)}}}\ket{\varphi_{n_{\tau(0)}}}\cdots\bra{\varphi_{m_{\sigma(N+1)}}}\ket{\varphi_{n_{\tau(N)}}}\\\propto\det\left(\begin{matrix}\bra{m_1}\ket{n}&\bra{m_1}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_1}\ket{n_N}\\\bra{m_2}\ket{n}&\bra{m_2}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_2}\ket{n_N}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\bra{m_{N+1}}\ket{n}&\bra{m_{N+1}}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_{N+1}}\ket{n_N}\end{matrix}\right)\end{array}
$$

が得られる。つまりスレーター行列式である。行列式になることは総和記号を眺めるよりも実際に書き出してみたほうがわかりやすいかもしれない。

行列式を規格化する。行列式を計算して最終的に得られるのはブラとケットが全て揃う項ただ1つである。それ以外の項は直行性から全て0となってしまう。今はフェルミオンを考えているので、$${n_1=n_2}$$などの場合（ブラとブラの間、ケットとケットの間で同一のものが存在する場合）は考えなくて良いことに注意。ブラとケットが全て揃う項の値は1であるから、規格化定数は$${1}$$で良い。よって

$$
\textcircled{a}\text{の右辺}=\det\left(\begin{matrix}\bra{m_1}\ket{n}&\bra{m_1}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_1}\ket{n_N}\\\bra{m_2}\ket{n}&\bra{m_2}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_2}\ket{n_N}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\bra{m_{N+1}}\ket{n}&\bra{m_{N+1}}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_{N+1}}\ket{n_N}\end{matrix}\right)\qquad(*)
$$

である。

さて、$${m_1=n}$$の場合を考えてみよう。このとき$${\bra{m_1}\ket{n}=1, \bra{m_1}\ket{n_i}=0}$$であるから、行列式は簡単にできて

$$
\begin{array}{l}\det\left(\begin{matrix}\bra{m_1}\ket{n}&\bra{m_1}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_1}\ket{n_N}\\\bra{m_2}\ket{n}&\bra{m_2}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_2}\ket{n_N}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\bra{m_{N+1}}\ket{n}&\bra{m_{N+1}}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_{N+1}}\ket{n_N}\end{matrix}\right)\\=\det\left(\begin{matrix}1&0&\cdots&0\\0&\bra{m_2}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_2}\ket{n_N}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&\bra{m_{N+1}}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_{N+1}}\ket{n_N}\end{matrix}\right)\\=\det\left(\begin{matrix}\bra{m_2}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_2}\ket{n_N}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\bra{m_{N+1}}\ket{n_1}&\cdots&\bra{m_{N+1}}\ket{n_N}\end{matrix}\right)\\=\bra{m_2,m_3,\cdots,m_{N+1}}\ket{n_1,n_2,\cdots,n_N}\end{array}
$$

となる。最後の変形で上述(*)式の次元を減らしたものを使った。

$${m_2=n}$$などの場合も上記の行列式から直ちに求める式が得られる。