【行間を読む】猪木・川合「量子力学II」p. 337 (相互作用表示波動関数の解に現れる積分のT積)

キーワード

• T積

• 相互作用表示

該当箇所

$$
\begin{array}{l}\displaystyle\int_{t_0}^tdt_1\int_{t_0}^{t_1}dt_2\cdots\int_{t_0}^{t_{k-1}}dt_k\hat{V}_{\mathrm{I}}(t_1)\cdots\hat{V}_{\mathrm{I}}(t_k)\\=\displaystyle\int_{t≥t_1≥t_2≥\cdots≥t_k≥t_0}dt_1dt_2\cdots dt_k\hat{V}_{\mathrm{I}}(t_1)\cdots\hat{V}_{\mathrm{I}}(t_k)\\=\dfrac{1}{k!}\displaystyle T\left(\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t_1}dt_2\cdots\int_{t_0}^{t_{k-1}}dt_k\hat{V}_{\mathrm{I}}(t_1)\cdots\hat{V}_{\mathrm{I}}(t_k)\right)\\=\dfrac{1}{k!}T\left(\left(\displaystyle\int_{t_0}^tdt'\hat{V}_\mathrm{I}(t')\right)^k\right)\end{array}
$$

解説

1行目から2行目については、表記を変更しているに過ぎない。$${t_1}$$は$${t≥t_1≥t_0}$$を満たすように動き、それに応じて$${t_2}$$は$${t_1≥t_2≥t_0}$$の値をとる。さらに$${t_3}$$は$${t_2≥t_3≥t_0}$$をとり…と続く。かくなる$${t_1, t_2, \cdots, t_k}$$のとりうる配置を全て網羅することを表したのが、積分記号の下についている不等式である。つまり、最初の等号では計算を行っていない。

次のT積が現れる部分については、一度$${k=2}$$で試してみると良いだろう。全ての変数について積分の上限が$${t}$$に変わっていることに注意して、

$$
\begin{array}{l}\displaystyle T\left(\int_{t_0}^tdt_1\int_{t_0}^tdt_2\hat{V}_\mathrm{I}(t_1)\hat{V}_\mathrm{I}(t_2)\right)\\=\displaystyle T\left(\int_{t≥t_1≥t_2≥t_0}dt_1dt_2\hat{V}_\mathrm{I}(t_1)\hat{V}_\mathrm{I}(t_2)+\int_{t≥t_2≥t_1≥t_0}dt_1dt_2\hat{V}_\mathrm{I}(t_1)\hat{V}_\mathrm{I}(t_2)\right)\end{array}
$$

となる。第1項は$${t_1≥t_2}$$で、第2項は$${t_1≤t_2}$$であるから、T積の定義に従って

$$
\begin{array}{l}\displaystyle \displaystyle T\left(\int_{t≥t_1≥t_2≥t_0}dt_1dt_2\hat{V}_\mathrm{I}(t_1)\hat{V}_\mathrm{I}(t_2)+\int_{t≥t_2≥t_1≥t_0}dt_1dt_2\hat{V}_\mathrm{I}(t_1)\hat{V}_\mathrm{I}(t_2)\right)\\=\displaystyle\int_{t_0}^{t}dt_1\hat{V}_\mathrm{I}(t_1)\int_{t_0}^{t_1}dt_2\hat{V}_\mathrm{I}(t_2)+\int_{t_0}^{t}dt_2\hat{V}_\mathrm{I}(t_2)\int_{t_0}^{t_2}dt_1\hat{V}_\mathrm{I}(t_1)\end{array}
$$

を得る。右辺で$${t_1,t_2}$$は積分のダミー変数なので、第1項と第2項は全く同じものである。右辺で同じ値が2つ出てきたのはT積内部で$${t_1,t_2}$$の並び順が2通り合ったからで、これを一般化すると、$${k}$$個の積分積になっている場合は$${t_1, t_2, \cdots, t_k}$$の並び順すなわち$${k!}$$だけ同じ項が現れる。故にテキストの3段目は先頭に$${\dfrac{1}{k!}}$$を入れることで重複を解消している。