条件付き待ち時間 t(A│B)=(∆t[t(A∩B)-t(B)])/(∆t+t(B) )の証明

高橋泰城（たかはしたいき）

確率pのオッズOdds=p/(1-p)の逆数をとった統計量をオッズアゲインストOdds-against=(1-p)/pと呼ぶ。この統計量は、時間間隔Δｔで繰り返すベルヌーイ試行の時系列において、

「確率pでおこり,
確率1-pで起こらない事象Aが生じるまでの平均待ち回数」

に等しくなっている（Odds-againstO(p(A))=[1-p(A)]/p(A)=1/p(A) -1
＝平均試行回数[1/p(A)]から一回引いた数字＝平均待ち回数）。

この場合の

　　　　この事象Aが生じるまでの平均待ち時間

をt(A)とすると　

　　　　　t(A)＝O(p(A))Δt＝[(1-p(A))/p(A)]Δt
             （ただしΔtは試行間隔の時間の長さ）

である 。

以上の「条件なし確率」p(A)の待ち時間の式[(1-p(A))/p(A)]ΔtはRachlin et al.1991によって指摘されているが、条件付確率P（A∣B）で生じる事象の待ち時間が条件付きでない事象の待ち時間によってどのように表現されるかについてはこれまで計算されたことがなかった。

今回、どんな数式になるのか計算してみた。2022.12.3

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