書記が数学やるだけ#76 複素積分-2（コーシーの積分定理，コーシーの積分表示）

複素積分について，正則な関数については計算上うれしい性質がある。

問題

説明

まず，線積分の性質であるグリーンの定理を復習。

参照記事：

これとコーシー・リーマンの関係式により，正則な関数についてコーシーの積分定理が成り立つ。積分の値が0になるというありがたい性質である。

領域が複数あったとしても，正則ならば簡単に表せる。

これより，コーシーの積分表示が成り立つ。周回円については，前回解いた問題から言える性質である。

ひとたび正則だとわかれば，何回でも微分可能，ということが言える。

解法

特異点はあるものの，それは領域の外側なので，領域内では正則である。なのでコーシーの積分定理により0になる。

特異点が領域内にある場合，その点を中心に円を領域として考えると，コーシーの積分表示を用いることができる。

特異点が複数ある場合，その分だけ円を多く描けばよい。

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