書記が数学やるだけ#58 ユニタリー行列，対角化による行列のn乗

今回は，複素行列と行列のn乗について扱う。前回扱った，固有値と固有ベクトルの知識が前提として必要である。

問題

説明

成分に複素数を含む複素行列について，複素ベクトルと同様に共役をとるところに注意。

全ての行列が対角化できるとは限らない。代わりに，それに近い形に変換することはできる。例として，3角化や，ジョルダン標準形（後日扱う）がある。

以前にケーリーハミルトンの定理を用いて行列のn乗を求めたことがあるがそれは特別なケースであった，対角化による行列のn乗はより一般的なものである。中身のPが消えて，両端だけが残るのがポイント。

解法

一応最初に，ユニタリー行列で対角化可能であることを示しておく。

固有方程式を求めると，1の3乗根が固有値となる。

各固有値について固有ベクトルを求め，対角化をする。この辺の手順は，前回実行列でやったのと同じである。

行列のn乗について。まずは対角化する。

両辺をn乗して，整理するとA^nが求められる。最後はひたすら計算。

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