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書記が物理やるだけ#192 演算子の交換関係
前回の続きで正準交換関係について示すついでに,量子力学の交換関係についてまとめておく。
問題
ひとまず定義通りに計算してみる。
![](https://assets.st-note.com/img/1673514059747-Bcj6ASMaIO.png?width=1200)
説明
古典力学におけるポアソン括弧は,量子化により交換関係に置き換えられる。
![](https://assets.st-note.com/img/1673514088413-WADWY6Cmik.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1673514156809-FYisuRBMj4.png?width=1200)
特に,特に正準共役な変数同士の交換関係である正準交換関係が重要。
![](https://assets.st-note.com/img/1673514179859-OzFSffk5zU.png?width=1200)
その他の演算子について,調和振動子には消滅演算子・生成演算子を用いる。
![](https://assets.st-note.com/img/1673514245358-41OqLV3Izh.png?width=1200)
角運動量に対応した角運動量演算子について。
![](https://assets.st-note.com/img/1673514286130-P7bz2FC3Sd.png?width=1200)
解答
正準交換関係の例として,位置演算子と運動量演算子について示す。
![](https://assets.st-note.com/img/1673514353579-ReUME4FO8Q.jpg?width=1200)
調和振動子に関する演算子について。
![](https://assets.st-note.com/img/1673514392460-GKF156hXva.jpg?width=1200)
角運動量演算子については,レヴィ=チヴィタのイプシロンを用いて示す。
参考:
![](https://assets.st-note.com/img/1673514412329-neXcB4AhBl.jpg?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1673514472155-0n8OwkQpQr.jpg?width=1200)
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