書記の読書記録#1113『確率微分方程式』

B.エクセンダール『確率微分方程式』のレビュー

確率微分方程式

レビュー

確率過程・確率微分方程式の定番の教科書の一つであり，4章までの基礎事項と5章以降の応用からなる。測度論については1周しておく程度でも読み進められる。

もくじ

第１章　序
　１．１　古典的微分方程式の確率論的類似
　１．２　フィルターの問題
　１．３　境界値問題への確率論的アプローチ
　１．４　最適停止問題
　１．５　確率制御
　１．６　数理ファイナンス
第２章　準備
　２．１　確率空間，確率変数と確率過程
　２．２　重要な例：ブラウン運動
第３章　伊藤積分
　３．１　伊藤積分の定義
　３．２　伊藤積分の性質
　３．３　伊藤積分の拡張
第４章　伊藤の公式とマルチンゲール表現定理
　４．１　伊藤の公式（１次元）
　４．２　伊藤の公式（多次元）
　４．３　マルチンゲール表現定理
第５章　確率微分方程式
　５．１　例と直接的解法
　５．２　存在と一意性
　５．３　弱い解と強い解
第６章 フィルターの問題
　６．１　はじめに
　６．２　１次元線形フィルターの問題
　６．３　多次元線形フィルターの問題
第７章　拡散過程：基本的な性質
　７．１　マルコフ性
　７．２　強マルコフ性
　７．３　伊藤拡散過程の生成作用素
　７．４　ディンキンの公式
　７．５　特性作用素
第８章　拡散過程に関する他の話題
　８．１　コルモゴロフの後退方程式．レゾルベント
　８．２　ファインマン=カッツの公式．消滅
　８．３　マルチンゲール問題
　８．４　いつ伊藤過程は拡散過程となるか？
　８．５　時間変更
　８．６　ギルサノフの定理
第９章　境界値問題への応用
　９．１　ディリクレ＝ポアソン混合問題．一意性
　９．２　ディリクレ問題．正則点
　９．３　ポアソン問題
第10章　最適停止問題への応用
　10．１　時間的に一様な場合
　10．２　時間的に一様でない場合
　10．３　積分を含む最適停止問題
　10．４　変分不等式との関係
第11章　確率制御への応用
　11．１　確率制御とは
　11．２　ハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン方程式
　11．３　終端条件をもつ確率制御問題
第12章 数理ファイナンスへの応用
　12．１　市場モデル，ポートフォリオ，裁定
　12．２　裁定と完備性
　12．３　オプションの価格付け
付録Ａ　ガウス型確率変数
付録Ｂ　条件付き期待値
付録Ｃ　一様可積分性とマルチンゲール収束定理
付録Ｄ　近似定理
問題の解答とヒント

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