書記が数学やるだけ#114 一様収束，項別積分と項別微分，ポアソン核

問題

(1)は一様収束の条件を求める問題，(2)以降はポアソン核に関連した問題である。

説明

一様収束の定義。

一様収束定理は，収束定理よりも強い条件の定理である（収束定理は各点収束である）。

証明には以下の道具を要する。

一様収束により，項別積分と項別微分が可能となる。

一様収束の系について。

以下の定理は，関数が連続なだけではフーリエ級数が収束するとは限らないことを示す。

解法

ワイエルシュトラウスの定理を用いて，一様収束する条件を求める。

等比数列の和より等式が示せる。

オイラーの定理を経て，実部と虚部を比較してポアソン核と共役ポアソン核の式を得る。

(4)はポアソン核を用いた実積分の問題。

(5)は2021年京大理系の問題。ポアソン核を用いればすぐに解ける。正攻法ではないが，おそらくポアソン核を意識した問題だと思う，大学でよくやる計算なのでできるようにしておきたい。

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