書記が数学やるだけ#84 1階常微分方程式-2（1次の同次形，1階線形微分方程式）

続いて，同次形とその派生について扱っていく。

問題

この内容は院試に頻出。

説明

同次形は，文字で置き換えることで変数分離形に持ち込める。

この派生形での変数変換は，平行移動と関係がある。

1階線形微分方程式について。

解法

両辺をx^2で割ると，(y/x)のかたまりが見えてくる。これをzとおいて整理すると，変数分離形になる。

まず平行移動により定数を無くす。これの分母分子をkで割ると(m/k)のかたまりが出て，後は先ほどと同様に解ける。

1階線形微分方程式について，e^(2x)をかけて整理するとうまいこと求められる。

(4)では定数変化法を用いてみる。まず同次形における一般解を求め，任意定数を関数で置き換えてそれを求めることで，元の式の一般解が出せる。

1階線形微分方程式について，公式を忘れてしまったら，手間はかかるが確実な定数変化法を使うのも手。

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