書記の読書記録#1086『作図で身につく双曲幾何学: GeoGebraで見る非ユークリッドな世界』

阿原 一志『作図で身につく双曲幾何学: GeoGebraで見る非ユークリッドな世界』のレビュー

作図で身につく双曲幾何学: GeoGebraで見る非ユークリッドな世界

レビュー

複素数平面の復習から始まり，ポアンカレディスクを用いた双曲幾何学の作図を中心に進めていく。

もくじ

第1章　双曲幾何学小史
1.1 幾何学の芽生え
1.2 世界観の変化と球面三角法
1.3 ガウス曲率
1.4 擬球の幾何学
1.5 非ユークリッド幾何学の発見
1.6 双曲平面のモデルたち

第2章　準備
2.1 作図ソフトGeoGebra
2.2 xy座標と作図
2.3 複素座標と作図
2.4 方べきの定理

第3章　円に関する反転写像
3.1 円に関する反転像
3.2 反転写像の基本性質
3.3 連続性と全単射（やや難）

第4章　反転像に関する図形的性質
4.1 反転写像による円の像
4.2 円の反転写像による直線の像
4.3 接する2円の反転像は接する
4.4 直交する円の反転像
4.5 反転による角度の保存
4.6 反転による複比の保存

第5章　ポアンカレディスクモデル
5.1 ポアンカレディスクモデル
5.2 双曲直線
5.3 双曲平行線
5.4 双曲角度

第6章　双曲直線の性質
6.1 中心が与えられたときの双曲直線
6.2 異なる2つの理想点を通る双曲直線
6.3 双曲平面内の異なる2点を通る双曲直線
6.4 1点を通り，与えられたベクトルに接する双曲直線
6.5 双曲直線の交点

第7章　双曲合同変換
7.1 双曲直線による反転写像
7.2 双曲直線による反転は角度を保つ
7.3 双曲合同変換の定義
7.4 垂直二等分線
7.5 双曲中点の作図
7.6 双曲点対称の作図
7.7 双曲円
7.8 双曲円の接線

第8章　共通垂線，三角形の五心
8.1 垂線と垂線の足
8.2 角の二等分線と垂線の長さ
8.3 共通垂線の作図
8.4 双曲三角形の五心

第9章　双曲長
9.1 三角形の合同
9.2 等距離曲線の作図
9.3 双曲平面の縮尺比
9.4 双曲長の具体的な式（難）
9.5 平行線角の定理（難）
9.6 双曲三角法（難）

第10章　三角形の面積
10.1 理想三角形は互いに合同
10.2 3分の2理想三角形
10.3 三角形の面積
10.4 三角形の面積と内角の和（難）

第11章　幾何とは何か
11.1 メタ幾何学へのお誘い
11.2 直線と長さはタマゴとニワトリの関係
11.3 角度から等質空間へ
11.4 2つの幾何学が等しいとは
11.5 リーマン幾何学からのアプローチ
11.6 おわりに―幾何学は無矛盾か？

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