書記が数学やるだけ#132 確率母関数，モーメント母関数，特性関数

確率分布を定義づける関数について扱う。

問題

説明

2項分布や幾何分布などの，非不整数の値を取る確率変数に対しては，確率母関数により定義づけができる。この式を微分することで，期待値や分散などのパラメータが得られる。

下の式は，独立性や再生性などの証明に用いられる。

モーメント母関数は，連続確率変数にまで拡張したものである。

更に拡張した概念として，特性関数がある。詳細は省くが，「レヴィの連続性定理」より特性関数と確率変数が1対1で対応することが言える，これは大数の法則や中心極限定理の証明に使える。

解説

2項分布の確率母関数を求める，以前に期待値や分散を求めたときと同じような計算をすればいい。

確率母関数から期待値と分散を求めると，以前に求めたものと一致するのがわかる。

ガンマ分布のモーメント母関数。

ここでは中心極限定理の証明の概要を示す。

ポイントは指数関数の極限である。

ここまでが1変数の確率分布の概説である。

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