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書記が数学やるだけ#132 確率母関数,モーメント母関数,特性関数

確率分布を定義づける関数について扱う。


問題

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説明

2項分布や幾何分布などの,非不整数の値を取る確率変数に対しては,確率母関数により定義づけができる。この式を微分することで,期待値や分散などのパラメータが得られる。

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下の式は,独立性再生性などの証明に用いられる。

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モーメント母関数は,連続確率変数にまで拡張したものである。

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更に拡張した概念として,特性関数がある。詳細は省くが,「レヴィの連続性定理」より特性関数と確率変数が1対1で対応することが言える,これは大数の法則や中心極限定理の証明に使える。

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解説

2項分布の確率母関数を求める,以前に期待値や分散を求めたときと同じような計算をすればいい。

数学やるだけ解答#132_page-0001


確率母関数から期待値と分散を求めると,以前に求めたものと一致するのがわかる。

数学やるだけ解答#132_page-0002



ガンマ分布のモーメント母関数

数学やるだけ解答#132_page-0003


ここでは中心極限定理の証明の概要を示す。

数学やるだけ解答#132_page-0004


ポイントは指数関数の極限である。

数学やるだけ解答#132_page-0005


ここまでが1変数の確率分布の概説である。


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