書記の読書記録#1064『数学基礎論入門 (基礎数学シリーズ)』

前原 昭二『数学基礎論入門 (基礎数学シリーズ)』のレビュー

数学基礎論入門 (基礎数学シリーズ)

レビュー

命題論理や述語論理の初歩的な話題から，型の理論を経て，ゲーデルの不完全性定理の証明まで至る教科書。初版1977年6月1日と古いものの今でも参考になるところは多い。

もくじ

1.　数学的理論の形式化
　1.0　形式化される数学的理論の概要
　1.1　記号
　1.2　対象式
　1.3　論理式
　1.4　自由変数への対象式の代入
　1.5　公理
　1.6　推論の規則
2.　命題論理
　2.1　→について
　2.2　仮定をもつ推論(仮定が１つの論理式である場合)
　2.3　仮定をもつ推論(一般の場合)
　2.4　￢について
　2.5　論理式の同値
　2.6　∨について
　2.7　∧について
　2.8　⇔について
3.　述語論理
　3.1　∀について
　3.2　∃について
　3.3　限定作用素の順序の交換
　3.4　束縛変数の書きかえ
　3.5　仮定をもつ推論
4.　等号をもつ述語論理
　4.1　等号の基本性質
　4.2　∃! について
　4.3　ι-記号
　4.4　ι-記号の使用法についての諸定理
　4.5　対象式の概念の拡張
5.　型の理論
　5.1　型の理論の公理
　5.2　簡単な集合論的記法
6.　自然数論
　6.1　自然数の公理
　6.2　関数の帰納的定義
　6.3　加法の性質
　6.4　乗法の性質
　6.5　大小関係
　6.6　ε-記号
7.　自然数の関係および関数についての形式的な表現の可能性
　7.0　用語・記号についての規約
　7.1　関係の形式的な表現可能性
　7.2　関数の形式的な表現可能性
　7.3　表現可能て関係・関数の例
8.　ゲーデルの不完全性定理
　8.1　ゲーデル数
　8.2　証明の形式化
　8.3　BewK(χ)の性質Ⅰ
　8.4　ω-無矛盾性　BewK(χ)の性質Ⅱ
　8.5　ゲーデルの対角化定理
　8.6　ゲーデルの不完全性定理
　8.7　‘嘘つき’のパラドッスク　タルスキーの定理
　8.8　ロッサーの不完全性定理
9.　補助定理の証明
　9.1　補助定理Ⅲの証明
　9.2　補助定理Ⅱの証明
　9.3　補助定理Ⅰの証明
10.　ゲーデルの第２不完全性定理
　10.1　関係および関数の強い意味での表現可能性
　10.2　ゲーデルの第２不完全性定理
　10.3　公式10.1の証明の方針
　10.4　公式10.7の証明の概要
　10.5　クライゼルの注意
11.　帰納的関数
　11.1　一般帰納的関数
　11.2　帰納的関数の基本的な性質
　11.3　表現可能性との一致
　11.4　チャーチの提唱
　11.5　証明可能性についての決定問題
12.　帰納的関数の性質
　12.1　算術的な関係
　12.2　算術的な論理式
　12.3　帰納的関係・帰納的関数の標準形
　12.4　Bv，Tv，U が原始帰納的であることの証明
　12.5　原始帰納的関数の強い意味での表現可能性
13.　記号表
14.　索　引

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