書記が数学やるだけ#833 射影平面・射影直線の表し方

射影平面の表し方は複数ある。

問題

連比にまつわる入試問題をつけておく。

説明

射影平面は，「通常の平面に無限遠点を加えたもの」「3次元空間内の原点を通る直線全体の成す集合」「連比の全体」などさまざまな表し方があり，扱う問題により使い分けていく。

同様にして射影直線も表すことができる。単純ではあるが，多様体論において重要な役割を持つ。

射影幾何の公理として様々なものが提唱されている，以下はホワイトヘッドの公理系である。

2次曲線は，射影幾何により統一的に考えることができる：

解答

連比にまつわる入試問題について，式変形と不等式評価により条件を示していく。

射影平面を連比全体として見たとき，斉次座標を用いてz≠0のときは通常平面上の点，z=0のときは無限遠点であることが言える。ここで，無限遠点は射影直線と同一視できる。

以下は三元一次不定方程式であり，係数により場合分けして示していく。2つの係数が0なら無限遠直線，1つの係数が0なら直線+無限遠点である。また，全ての係数0でないなら実射影直線と同型であることを，逆写像から示す。

最後に2次曲線について。まず，楕円は無限遠点を持たない。

一方で，双曲線には漸近線と交わる無限遠点が存在する。また，放物線は無限遠直線と交わる。

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