書記が数学やるだけ#128 ラプラス変換による常微分方程式，積分方程式の解法

常微分方程式をラプラス変換により解く方法について扱う。合わせて，積分方程式を解く方法もここで見ていく。

問題

大学入試で出る積分方程式のうち，畳み込み積分に関連するものを挙げた。

説明

微分方程式の解法については，過去に何回か説明してきた。

ここでは，ラプラス変換による解法を紹介する。

まず，微分方程式の両辺のラプラス変換を取る。ここでは微分のラプラス変換を用いる。

これをY(s)について解き，最後にラプラス逆変換をすると，元の微分方程式の解が求められる。うまいこと斉次方程式の解と非斉次方程式の特解が出てくる。

解法

微分方程式について，ラプラス変換を用いる。

(2)まずは実際の問題の誘導に乗ってみる。ここではφ(x)=f(x)+f'(x)とおいてφ'(x)/φ(x)を求める指示がある。元の式を微分して整理すれば先に進める。

これでφ(x)が求められた訳だが，問題はここからである。微分方程式の解法としては簡単な問題なのだが，これを大学入試の範囲でとなると厳しい。e^x f(x)を求めるというのは，なかなか突飛な発想にも思える。

これをラプラス変換を用いて解いてみる。畳み込み積分を用いるいい例であり，簡単に解が求められる。

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