【大学数学】群・環・体とは③

1．はじめに

群・環・体とは、数を一般化したものです。今回は、その中の環について定義と具体例を紹介します。

2．環の定義

以下が、環の定義です。

環は、演算を2つ考えます。その演算は、加法と乗法と考えるとわかりやすいです。加法については、アーベル群をなし、乗法については、結合法則、単位元の存在が必要です。群に必要な逆元の存在は必要ではありません。ちなみに、逆元が存在すると、体をなします。環であるためには、さらに、加法・乗法について分配法則が成り立つ必要があります。

加法についてアーベル群である必要があるので、確認しましょう。

可換環は、整数を一般化したものと考えるとわかりやすいです。整数は、加法について閉じています（整数1、2に対して、1+2=3は整数）。さらに、結合法則、交換法則が成り立ち、単位元は0、xの逆元は-xです。そして、乗法についても閉じています（整数2、3に対して、2・3=6は整数）。さらに、結合法則、交換法則、分配法則が成り立ち、単位元は1です。

詳しく、具体例を見ていきましょう。

3．環の具体例

数を表すのに、以下の記号を使います。

上で説明した整数が加法・乗法について可換環をなすことを示してみましょう。

加法についてアーベル群をなすことは、以下の記事で書いたので、確認してください。

同様に、有理数、実数、複素数も加法・乗法について可換環をなします。

数以外でも群をなす集合は、演算を加えることで環をなすことができます。1つは、行列ですね。

乗法については交換法則が成り立たないため、非可換環です。

また、多項式も加法・乗法について環をなします。

さらに、関数も加法・乗法について環をなします。

最後に、有名なガウスの整数環を紹介します。

4．おわりに

環の定義と具体例を見ました。環は、アーベル群にもう1つの演算を加えたようなイメージですね。その演算について、逆元が存在するとき、体をなします。

次回は、体の定義と具体例を紹介します。