【大学数学】群・環・体とは④

1．はじめに

群・環・体とは、数を一般化したものです。今回は、その中の体について定義と具体例を紹介します。

2．体の定義

以下が、体の定義です。

体は、可換環であることに加え、乗法に関して逆元が存在します。可換環である必要があるので、確認しましょう。

加法に関してアーベル群をなすので、それも確認しましょう。

体は、有理数を一般化したものと考えるとわかりやすいです。有理数は、加法について閉じています（有理数1、2に対して、1+2=3は有理数）。さらに、結合法則、交換法則が成り立ち、単位元は0、xの逆元は-xです。そして、乗法についても閉じています（有理数2、3に対して、2・3=6は有理数）。さらに、結合法則、交換法則、分配法則が成り立ち、単位元は1、xの逆元は1/xです。

詳しく、具体例を見ていきましょう。

3．体の具体例

数を表すのに、以下の記号を使います。

上で説明した有理数が加法・乗法について体をなすことを示してみましょう。

有理数が可換環であることは、以下の記事で書いたので、確認してください。

有理数と同様に、実数や複素数も加法や乗法について体をなします。

ちなみに、整数は体ではありません。

乗法について、逆元が存在するとは限りません。

しかし、整数の剰余類環は体になることがあります。剰余類環は、整数を整数nで割った余りによって分類したものです。例えば、n=3のとき、3で割った余りは、0、1、2のいずれかです。そのため、3で割った余りが0の0、3、6、9、…は同一視します。また、3で割った余りが1の1、4、7、10、…は同一視します。同様に、3で割った余りが2の2、5、8、11、…は同一視します。このように、整数nで割った余りによる分類をした集合は、以下の2つの演算を入れることで可換環をなします。そして、nが素数のとき、体をなします。

nが素数でないときは、体をなしません。

nが素数でないと、乗法に関して逆元が存在しないのですね。

4．おわりに

体の定義と具体例を見ました。体は、可換環に乗法について逆元が存在することを加えたようなイメージですね。そのため、体は、有理数を一般化したイメージと考えると、わかりやすいです。大学数学では、定義をただ覚えるだけでなく、定義を理解することが大切です。そのために、具体例を考えるとよいと思います。