積分

積分は函数ｆから新しい函数Ｆを得る手続きで、その手続きはいささか怪しく感じるかもしれないが、「分かった積り」にはなれるという。その手続きをリーマン（Riemann）の方法で述べよう。

実数の部分集合から実数への函数ｆがあるとしよう。簡単のためｆは区間Ｉ上で定義されているとしよう。区間とは任意のＩの２点について、その間にあるような点もＩの点になるような実数の部分集合をいう。

さて、このときｆのＩ上の定積分の定義を行おう。

（１）函数ｆの定義域Ｉをいくつか有限個の小区間に分割する。

（２）各小区間ごとに点を任意に一つずつ取る。この点をこの小区間に対する代表点と名付けよう。

（３）各代表点における函数ｆの値とその点が属する小区間の長さの積を取る。

（４）こうして各小区間ごとに得られた積をすべての小区間にわたって和を取る。

（５）ここまでの（１）～（４）の操作により、Ｉの分割と各代表点の集まりにより積和の値が決まった。小区間の幅が小さくなるよう分割を細かくして、かつそれぞれの小区間に対する代表点の取り方によらずにこの積和がある一定の値に収束するならば、その極限値をｆのＩ上の定積分という。

この定義は「収束する場合」にいうので、実際収束するのがどれくらいあるのかというのは気になるが、例えばｆがＩ上で連続な函数であれば、その極限値は存在することが知られている。つまりｆはＩ上定積分可能であると分かる。このため多項式、指数函数、三角函数、対数函数、有理函数、無理函数など、よく使う函数は連続函数だから実用的にはこの定義で大部分がカバーされている訳です。

ｆの定義域Ｉの部分集合でＩ’をＩの左側の端点からＩの右側の端点よりも小さいｘ以下の区間に制限すれば、ｆのＩ’上の定積分は変数ｘの函数になる。そこでこれをＦ（ｘ）と記そう。ｘが特にＩの右側の端点であればＦ（ｘ）はｆのＩ上の定積分に他ならない。

こうしてＦという函数が得られた。この手続きをｆの積分という。

さらに同様にして左側の端点も変数ｘ’に置き換えてＩ’の部分集合Ｉ’’（＝ｘ’からｘまでの区間）を構成すると、ｆのＩ’’上の定積分が２変数ｘ’とｘの函数として得られる。この函数を一旦Ｇと置こう。

区間Ｉ’’は区間Ｉ’からＩの左側の端点からｘ’までの区間を取り除いたものであるから、結局Ｇ（ｘ’、ｘ）の値はＦ（ｘ）－Ｆ（ｘ’）となる。よってＧはＦで表される。

なお、特にｆが定値函数１であれば区間Ｉ上のｆの定積分は、区間Ｉの長さを得る。

さて結局のところ、積分の核心部分は「積和の極限」ということであるから、ｆが１変数函数でなくて、多変数函数でも同様に議論できて、例えば２変数函数の場合は区間Ｉの代わりに連結な領域Ｄの中で同様の考察ができて、やはり「積和の極限」が存在するとき、その極限値をｆのＤ上の定積分と定義される。そのときＩの分割に相当するのは領域Ｄの細かなメッシュになると考えるとよい。

なお、特にｆが定値函数１であれば領域Ｄ上のｆの定積分は、領域Ｄの面積を得る。

以上のリーマン積分の詳細については解析の教科書によく書かれているので、きちんと定式化したものを確かめる際はそちらをご覧ください。