半群

文字Ａ～Ｚのアルファベットがあるとしよう。これらの文字をいくつか並べてできる長さが有限の文字の列をすべて考え、その集合をＦとおく。

Ｆの元を単に文字列ということにしよう。文字列は例えば、
ＡＢＣ，ＣＯＦＦＥＥ，ＰＰＰＰＱＱＰＰＰ，･･･
など同じ文字を何回繰り返し使ってもよい。また空白（長さが０の文字列）も文字列として仲間にいれるとしよう。空白を表すのに△と書くことにする。

文字列と文字列をつなげるとまた文字列である。これはＦの２つの元からＦの元への対応を与える。つまりこの操作はＦ上の２項演算である。そしてこの演算をＦの乗法と呼び、演算記号を・（ドット）で表すとしよう。この乗法は例えば、
ＡＢＣ・ＣＤＥ＝ＡＢＣＣＤＥ
ＵＴＡＤＡ・ＨＩＫＡＲＵ＝ＵＴＡＤＡＨＩＫＡＲＵ
という風になる。

集合Ｆとこの乗法を合わせたものを考えるときは、その構造が付帯されていることを強調してしばしば（Ｆ，・）と書かれる。

さて（Ｆ，・）の持っている性質として次の２性質はすぐに認められよう。
（１）結合法則：
　任意の文字列Ｘ，Ｙ，Ｚについて
　（Ｘ・Ｙ）・Ｚ＝Ｘ・（Ｙ・Ｚ）
　が成り立つ。
（２）単位元の存在：
　任意の文字列Ｘについて、
　△・Ｘ＝Ｘ・△＝Ｘ
　が成り立つ。文字列△をこの乗法に関する単位元（たんいげん）という。

一般に、集合とその上の２項演算が付帯されているものが、上記（１）の性質を持つときは半群（はんぐん）、（１）と（２）の両方を持つときは単位的半群（たんいてきはんぐん）、またはモノイドと呼ばれる。（注意：「文字列」という言葉を「集合の元」と書き直す必要はある。）上記で我々の定義した（Ｆ，・）は単位的半群になっている。しかしＦに空白の文字列△を入れないで考える場合は、（２）の性質は成り立たない。その場合は（Ｆ，・）は単に半群である。

なお、上のようなＦを文字｛Ａ，Ｂ，･･･，Ｚ｝における自由単位的半群と呼ばれるがその話はまたの機会に。

半群ないし単位的半群の他の例はごく自然の中に現れている。

自然数の集合とは｛１，２，３，４，・・・｝をいうが、これは加法＋についての半群であり、乗法・については単位的半群である。乗法においては１がその単位元となる。

さらに、この自然数の集合に０を要素に付け加えたものを考えると、加法について単位的半群となる。ちょうど０が加法における単位元となる訳です。

また、単位的半群における単位元の存在は一意的（つまりただ一つしかない）ということも論理的にすぐわかります。

実際、単位的半群（Ｇ，・）における単位元が２つあったとして、それをｅ、ｆとしよう。その２つの積ｅ・ｆを考えると、ｅもｆも単位元であるからこの積はｆやｅでもある。ゆえにｅとｆは一致する。

単位的半群の中にもまた単位的半群が現れることがある。

単位的半群（Ｇ，・）の部分集合ＨでＧの乗法がＨの中で閉じている場合、つまり、Ｈの２つの元ａ，ｂについてａ・ｂがまたＨの元となる場合、（Ｈ，・）は半群となる。これをＧの部分半群とよぶが、一般には単位元がＨに属しているかどうかは言えない。しかもＧでは単位元でなかった元がＨでは単位元となることもある。（Ｇで単位元だったものがＨに属しているならば、その元はＨでの単位元である。）そこで、Ｈに単位元が存在して、Ｈの単位元がＧでの単位元と一致する場合に、ＨはＧの部分単位的半群と呼ぶ。

例えば集合Ａ＝｛１，２｝、ＰをＡの部分集合すべての集合とする。Ｐには２つの元について和集合を取る操作∪を演算に、空集合Φを単位元とする単位的半群である。Ｐの部分集合Ｑとして１のみから構成される集合｛１｝のみを要素にする集合｛｛１｝｝を考えると、（Ｑ，∪）も単位的的半群となるが単位元は｛１｝であって、Ｐの単位元、つまり空集合Φではない。