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「あの人の笑顔が周りの人の笑顔を引き起こす」 「このお守りを持っていると、合格を引き起こす」 という風に、日常的な会話の中で、原因となるＸが結果となるＹを生み出すときに、「ＸがＹを引き起こす」という表現がある。 そして数学の書籍でも「引き起こす」が議論している文脈の中で積極的に使われることがある。 また、ＸからＹが引き起こされるときに、その引き起こし方が人工的なものではなく、とても単純な手続きであると思えるときは、「自然に引き起こす」という表現も使う。 「自然に」と
自然数の素因数分解では、任意の自然数がいくつかの素数の積で表され、それは積の順序を除いてただ一通りである、という事実があった。 例えば、 ２２０＝２×２×５×１１ という素因数分解である。同じ素数が重複して現れてもよい。 この「ただ一通りに」というのは、中学生でどこまで正確に習うだろう。ある程度具体的な計算をやっているうちに、素因数分解したら「当然」一通りの答えしかない、という感覚にならないだろうか。では、その当然と思われる分解はただ一通りであるということを証明できるの
中学校の生徒全員を集めたら、そこには１年生、２年生、３年生と学年ごとに分類できる。また、生徒の人数が多い学校だと、１年生でもさらに細かく１組、２組、･･･、ｎ組と分類できる。分類の仕方だけでいえば、男子生徒と女子生徒の２分割も考えられる。 このように生徒全員から、いろいろな分類の仕方が考えられます。 例えば生徒全員を学年ごとに３つに分類するというのを考えると、生徒全員の集合をＳとして、Ｓを３つの互いに交わりのない集合Ａ，Ｂ，Ｃの和集合で書き表すことになります。ここでＡは１
通常よくあるように、会社の組織体制としてピラミッド構造している状況を考えよう。そこにはいわゆる上司・部下の関係（上下関係）がある。よってこの組織には順序の構造ある。この順序では同じ会社員だが、部署が違えば上下の比較ができないものもある。一方で社長さんと比べればどの社員よりも上に位置している。この会社の社員全員と、その間の上下関係を併せて考えるということは、そこにある順序の構造を意識している。 もう少し単純な順序の例では、「実数の世界」には大小の関係があるのもそうだ。２つの大
まずは群のところでも述べたことを思い出そう。 操作Ａのあと操作Ｂをするときの操作をＡ・Ｂあるいは単にＡＢと書き、操作全体の集合Ｘに乗法が定義された。そして「何もしない」というのも一つの操作であると考え、これを△で書くことにすれば、△はこの乗法による単位元の働きをするのだった。さらに、操作Ａについて、ＡＡ’＝△となるような操作Ａ’がある場合をＡの右逆元、Ａ’Ａ＝△となる操作Ａ’をＡの左逆元と呼び、右逆元でもあり左逆元でもある場合を、Ａの逆元と呼んだ。また、逆元の存在するような
ある操作をして誤ったとき、もとに戻すことができればその失敗はなかったことにできる。しかし、もとの状態に戻れせることは日常の中でいつもあるとは限らない。戻せるものもあれば、もう戻せないものもある。これらの性質を可逆性、不可逆性といわれる。 過ぎ去った時はもう過去に戻れない（不可逆） パソコンの操作は大抵は元に戻せる（可逆） 将棋の「歩」は前しか行けず、もとの位置へバックできない（不可逆） しかし「と金」に成ればもとの位置に戻れる（可逆） さて、今、注目している対象をひとつ固
「命の題」と書くと何やら胸を打つ熱い題のように感じるかもしれまんせが、数学で命題（めいだい）というのは、何かを記述する、あるいは言明するのに最も基本的なものです。高校の教科書では、例えば数研出版では「正しいか正しくないかがはっきり定まる文や式を命題という」となっています。 例えば、文「１＋１＝２である。」は正しい。文「１＋２＝０である」は正しくない。これらは命題である。 一方、「彼は背が高い」、「カレーは辛い」というのは正しいか正しくないかは明確な判断基準がなく、したがっ
「Ａ君とＢ君は友達の仲である」とか、「実数ａをａ＋１に対応させる」など、２つの対象の間に何かしら関係を見出すことがあります。函数（写像）よりも広い概念になります。函数はインプットからアウトプットへの方向性がありますが、一般の関係の場合はそれを考えません。 さて、注目している２対象の集合をそれぞれＸとＹとしよう。特にＸ＝Ｙであってもよい。この２対象の間にある関係という状況を形式的に表してみよう。 集合Ｘの元ｘと、集合Ｙの元ｙについて、”ｘはｙと関係Ｒがある”という主張を ｘ
数の世界を拡張して変数という文字を導入して「文字式」というものを考えるのは計算の上で便利な発明品です。例えば中学生の頃に 「x = -1のとき、x^2 + 2x + 1を求めよ」 という問題を、直接この式に代入して (-1)×(-1) + 2×(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 と計算するより x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 と因数分解してx = -1を代入すれば０とすぐ計算できるよ、と習ってきました。 文字式に代入してから計算するのと、文字
物事を観察していると、いくつかのものの中にある共通する性質を持っていることに気付くことがある。次に逆にその性質をもつような対象について考察し、その性質から帰結する定理が得られていく。 こうして共通する性質Ｐを糸口に、その性質Ｐが引き起こす他の性質Ｑもまた、もとの性質Ｐを持つものにも同様に性質Ｑを持つことがわかる。 性質Ｐを見出すことを抽象するという。 数学ではこのような考察の方針がまずあって、いくつかの具体的な例を頼りに何らかの性質を見出し、新しい定理を導き、これを繰り
文字Ａ～Ｚのアルファベットがあるとしよう。これらの文字をいくつか並べてできる長さが有限の文字の列をすべて考え、その集合をＦとおく。 Ｆの元を単に文字列ということにしよう。文字列は例えば、 ＡＢＣ，ＣＯＦＦＥＥ，ＰＰＰＰＱＱＰＰＰ，･･･ など同じ文字を何回繰り返し使ってもよい。また空白（長さが０の文字列）も文字列として仲間にいれるとしよう。空白を表すのに△と書くことにする。 文字列と文字列をつなげるとまた文字列である。これはＦの２つの元からＦの元への対応を与える。つまりこ
集合Ａ、Ｂに演算がそれぞれ付帯されているとしよう。ＡとＢが「同型である」といえばこの２つのものが全く同じタイプであるから、考えている構造の上では同じである。準同型とは、それよりは若干劣るが、考えている構造の上で次の意味で類似している。 ０以上の整数ｎを固定する。集合Ａにｎ項演算μが付与されていて、集合Ｂにはｎ項演算νが付与されているとしよう。 ＡからＢへの写像ｆがμとνに関して準同型であるとは、写像ｆがそれぞれでの演算とが次の意味で両立していることです。すなわち、Ａの元た
皆さんは、好きな数字はなんでしょうか。 一等賞の「１」、ラッキーセブンの「７」、「ゼロからスタート」の「０」、誕生月の「４」、などなど好みも様々と思います。 さて、九九（くく）は１桁×１桁の答えを語呂合わせで詠ったものですが、我々は１０進法を使うので数字は０を含めなければ９種類の数字のペアで構成されています。もし昔のヨーロッパのように１２進法が主流だったなら、九九に相当するものは１１種類の数字のペアで構成されたものを覚えていたかもしれない。それはそれで沢山覚えられて便利で
四則演算は小学生から習うが、それと同じくらい身近な演算に「畳み込み」と呼ばれる演算もある。畳み込みについて、具体的な例で定義しよう。 まず数列(a(0)，a(1)，a(2)，･･･)を一つ用意し、これを係数にした次のような変数ｘの形式的べき級数f(x)を作ろう： f(x) = a(0) + a(1)x + a(2)x^2 + ･･･ 無限和になっているがここでは収束性は考えない。単に「形式的に」作っているだけでそのような対象を今考えている。そして、ここには加法（＋）と乗
