顕示選好理論の話（７／終）：派生トピックス

はい、これで終わりでーす。前回まではこちら。

　で、本筋に当たるものは（６）で終わっちゃったので、後はこぼれ話。考えてるのは、未解決問題の紹介なんだけど……（６）のアフリアット＝ヴァリアン理論は最先端でバチバチみんなやってる奴で、ちょっと、ここで未解決問題を精査するのは難しい。古典論から漁ってくると多少あるので、いくつか紹介しよう。
　第一に、弱弱公理（第三回参照）とスルツキー行列の半負値定符号性が同値だっていう定理がある。これは需要関数が連続微分可能なら証明されていて間違いない。次に、弱弱公理より弱公理の方が強い。「弱くない」ことは形式からすぐわかるんだが、本当に強いことを言うためには、弱弱公理を満たしつつ弱公理を満たさない需要関数がなければならない。よく挙げられるのは以下の関数。

f(p_1,p_2,p_3,m)=(p_2/p_3,-p_1/p_3,m/p_3).

　はい、問題はこれを需要関数とみなしてよいかです。非負性どころか、下への有界性すら満たさないんだよね。どういう解釈なのっていう。
　で、「ワルラス法則と非負性を満たす連続微分可能な需要関数で、弱弱公理を満たしつつ弱公理を満たさない需要関数は存在するか」というのは、ひとつの未解決問題。だけどこれ解決するの辛いんじゃないかな……
　ひとつの解決策は、「ワルラス法則と非負性を満たす「連続な」需要関数で、弱弱公理を満たしつつ弱公理を満たさない需要関数は存在するか」という形に、問題を弱めること。これならなにかありそうな気がする。が、問題は「連続微分可能な」を取っ払ったことで、そうするとこれを解決しても、今度は「スルツキー行列が半負値定符号なのに弱公理を満たさない需要関数は存在するか」というべつの未解決問題が発生する。
　これまた難しいんだけど、最近ちょっと考えていることがあって、ラーデマッハーの定理というのがあって、局所リプシッツ関数はほとんどすべての点で全微分可能である。これを利用して最近僕は、「ワルラス法則を満たす非負で局所リプシッツな需要関数で、スルツキー行列が「ほとんどすべての点で」対称かつ半負値定符号なら、強公理を満たす」ことを証明した。この援用で、「ワルラス法則を満たす非負で局所リプシッツな需要関数について、スルツキー行列が「ほとんどすべての点で」半負値定符号であることと、弱弱公理は同値である」が示せるんじゃないかと思っている。このクラスなら弱弱公理を満たしつつ弱公理を満たさない反例、作れるんじゃないかな……というわけで、「ほとんどすべての点」に拡張して解決すればいいんじゃないかなというのが僕のいま考えてる解決策。
　第二の点はヴィーユの公理に関連する奴で、あれは逆需要関数の連続微分可能性が公理の前提になってる。ということは、スルツキー行列の階数条件を需要関数に仮定していることになる。これを取っ払った場合、スルツキー行列の対称性と同値な顕示選好の公理はなにがあるか？　というのが第二の未解決問題。これ案外手強い気がするなぁ……でもスルツキー行列の対称性は、計量経済学でも限定合理性系の理論でも扱っているのを見たことがあって、どーも重要そうなので、これを解釈するというのにはなにか需要がありそうなので、時間があれば考えてみたいなーと思ってるところ。
　第三に、選択関数に限定したときにはリクターの定理が出てくる前も、そしてそれ以後も、いろんな議論が行われている。たとえば選択関数の定義域が任意の三点以下の集合を含むなら、顕示選好の強公理よりはるかに弱い、「無関連対称からの独立性」が合理性の必要十分条件だったりする。こういう形で、具体的に意味のある問題に、それ特有のもっと簡単な合理化可能性の条件がある可能性があって、うまいこと見つければ論文になるかも。
　第四は、アフリアット＝ヴァリアン理論とリクターの定理の架け橋に関する話。アフリアット＝ヴァリアン理論は、有限個のデータから「連続で凹で増加的な」効用関数を導出する。これを、データが稠密になるようにどんどん増やしていったら、極限として出てくる選好（まあたぶん閉収束位相で）は「連続で凹で増加的」でありそうな「気がする」（確かめてない）。ところが一方でKannai (1977)っていう伝説的に読みにくい論文があって、これによるといわゆる連続で単調な凸選好を表現する連続で増加的で凹な効用関数は「存在するとは限らない」。このギャップはどこから来るのか？　極限に移行する際にどの性質がなにを壊しているのか？　これは未解決問題のひとつだ。似たことをMas-Colell (1978)がやってるのを最近見つけたので、チェックしてみるとなにかわかるかもしれない。

　とまあ、いろいろずらずら並べたけど、ぶっちゃけＧＡＲＰ周りで仕事した方が楽して出世できるよ（直球）いやだって上の問題全部難しいんだもん。難しいから人気ないんだろうなーこの分野、とため息をつきつつ話を閉じる。結局この記事群、（６）以外読まなくていいんじゃね……？