はじめての線形代数 練習問題1

ここでははじめての線形代数part1での練習問題と回答を解説していこうと思います。

問題

基礎問題（問1～問4）

$${問1.与えられた行列AとBの積ABを計算してください。\\A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\\\,\\B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}$$

$${問2.与えられた行列XとYの積XYを計算してください\\\\X=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}\\\,\\Y=\begin{pmatrix}4&-2\\0&5\end{pmatrix}}$$

$${問3.与えられた行列PとQの積PQを計算してください\\\\P=\begin{pmatrix}3&-1\\2&4\end{pmatrix}\\\,\\Q=\begin{pmatrix}0&1\\-2&5\end{pmatrix}}$$

$${問4.与えられた行列MとNの積MNを計算してください\\M = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \\\,\\N = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -3 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}}$$

応用問題（問5~問7）

$${問5.行列AとBが以下のように与えられています。\\ABおよびBAを計算して、行列の乗法は順序によって積が変わることを確認せよ。\\A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\\\,\\B =\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}}$$

$${問6.行列Cが以下のように与えられています。\\C^2を計算してください。\\C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$$

$${問7.行列DとEが以下のように与えられています。\\DE−EDを計算してください。\\D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\\\,\\E = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}}$$

回答

問1

$${解1.行列ABの計算は以下の通りです。\\AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}(1×5+2×7)&(1×6+2×8)\\(3×5+4×7)​&(3×6+4×8)\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}​}$$

問2

$${解2.行列XYの計算は以下の通りです。\\XY=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-2\\0&5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}​(2×4+1×0)&(2×−2+1×5)\\(−1×4+3×0)&(−1×−2+3×5)​\end{pmatrix}\\= \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ -4 & 17 \end{pmatrix}}$$

問3

$${解3.行列PQの計算は以下の通りです。\\PQ=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -2 & 5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}​(3×0+−1×−2)&(3×1+−1×5)\\(2×0+4×-2)&(2×1+4×5)\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2 & -2 \\ -8 & 22\end{pmatrix}}$$

問4

$${解4.行列MNの計算は以下の通りです\\MN=\begin{pmatrix}2&-1&3\\0 & 4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&2\\-3&0\\1&-2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}(2×5+-1×-3+3×1)&(2×2+-1×0+3×-2)\\(0×5+4×-3+1×1)&(0×2+4×0+1×-2)\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}14&-2\\-11&-2\end{pmatrix}}$$

問5

$${解5.計算と解説\\ AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}​(2×0+1×1)&(2×-2+1×3)\\(-3×0+4×1)&(-3×-2+4×3)\end{pmatrix} \\= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4& 10 \end{pmatrix} \\\,\\ BA = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \\=\begin{pmatrix}​(0×2+−2×−3)&(0×1+−2×4)\\(1×2+3×-3)&(1×1+3×4)\end{pmatrix}\\= \begin{pmatrix} 6 & -8 \\ -7 & 13 \end{pmatrix} \\ 解説：行列の積は順序が異なると結果が異なります。ABとBAが一致することは一般には成り立ちません。}$$

問6

$${解6.計算と解説：\\ C^2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}​(3×3+1×0)&(3×1+1×2)\\(0×3+2×0)&(0×1+2×2)\end{pmatrix} \\= \begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\\ 解説：行列Cを自身と掛けると、Cの2乗が得られます。}$$

問7

$${解7.計算と解説：\\ 行列Dと行列Eの積から、行列Eと行列Dの積を引いた結果を計算しています。\\DE - ED \\= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\=\begin{pmatrix}(1×3+2×4)&(1×0+2×5)\\(0×3+-1×4)&(0×0 -1 × 5 )\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}(3×1+0×0)&(3×2+0×-1)\\(4×1+5×0)&(4×2 +5 × -1 )\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix} 11-3& 10-6 \\ -4-4 & -5-3 \end{pmatrix}\\= \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ -8 & -8 \end{pmatrix} \\ }$$

行列の積は慣れたでしょうか！新入生の皆さん勉強頑張ってください！！