はじめての線形代数 練習問題6

　今回はこちらの練習問題かつ解答を解説します！

問題

基本問題

$${問題1\\A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\\行列Aを対角化させた行列Xを求めよ。}$$
$${問題2\\B=\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\\行列Bを対角化させた行列Yを求めよ。}$$
$${問題3\\C=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}\\行列Cを対角化させた行列Zを求めよ。}$$

応用問題

$${問題4.\\問1の行列Aについて、A^5を求めよ}$$
$${問題5.\\問2の行列Bについて、B^5を求めよ}$$
$${問題6.\\問3の行列Cについて、C^nを求めよ}$$

解答

問1

$${解答1.固有値と固有ベクトルを求める。\\固有値は\\\begin{vmatrix} 3 - \lambda  & 1 \\ 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix}=\lambda^2-6\lambda +8\\=(\lambda-4)(\lambda-2)\\よって固有値は\lambda_1=4, \lambda_2=2\\\,\\\lambda_1=4のとき、\\\begin{pmatrix} -1  & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1  & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x-y=0 \Leftrightarrow x=c, y=c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}となる。\\\,\\\lambda_2=2のとき、\\\begin{pmatrix} 1  & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1  & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x+y=0 \Leftrightarrow x=c, y=-c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}となる。\\固有ベクトルを並べた行列をPとすると、\\P=\begin{pmatrix} 1  & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}となる。また、P^{-1}=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1  & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\よって対角化するとX=P^{-1}AP\\=\begin{pmatrix} 4  & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$$

問2

$${解答2.固有値と固有ベクトルを求める。\\固有値は\\\begin{vmatrix} 3 - \lambda  & 3 \\ 1 & 5 - \lambda \end{vmatrix}=\lambda^2-8\lambda +12\\=(\lambda-6)(\lambda-2)\\よって固有値は\lambda_1=6, \lambda_2=2\\\,\\\lambda_1=6のとき、\\\begin{pmatrix} -3  & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1  & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x-y=0 \Leftrightarrow x=c, y=c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}となる。\\\,\\\lambda_2=2のとき、\\\begin{pmatrix} 1  & 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1  & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x+3y=0 \Leftrightarrow x=3c, y=-c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}となる。(\begin{pmatrix}1\\-\frac{1}3\end{pmatrix}でも可)\\固有ベクトルを並べた行列をPとすると、\\P=\begin{pmatrix} 1  & 3\\1 &-1\end{pmatrix}となる。また、P^{-1}=-\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} -1  & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\よって対角化するとY=P^{-1}BP\\=\begin{pmatrix} 6  & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$$

問3

$${解答3.固有値と固有ベクトルを求める。\\固有値は\\\begin{vmatrix} 1 - \lambda  & -2 & 0 \\ 0 & 2 - \lambda &3\\ 2 & 2 &3 -\lambda \end{vmatrix}=-\lambda^3+6\lambda^2-5\lambda -12 \\=-(\lambda+1)(\lambda-3)(\lambda-4)\\よって固有値は\lambda_1=-1, \lambda_2=3, \lambda_3=4\\\,\\\lambda_1=-1のとき、\\\begin{pmatrix} 2  & -2 & 0 \\ 0 & 3 &3\\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1  & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x+z=0 ,y+z=0 \Leftrightarrow x=c, y=c, z=-c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}となる。\\\,\\\lambda_2=3のとき、\\\begin{pmatrix} -2  & -2 & 0 \\ 0 & -1 &3\\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1  & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x+y=0 ,y-3z=0 \Leftrightarrow x=-3c, y=3c, z=c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}-3\\3\\1\end{pmatrix}となる。\\\,\\\lambda_3=4のとき、\\\begin{pmatrix}  -3 & -2 & 0 \\ 0 & -2 &3\\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1  & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x+z=0 ,2y-3z=0 \Leftrightarrow x=-2c, y=3c, z=2c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}-2\\3\\2\end{pmatrix}となる。\\固有ベクトルを並べた行列をPとすると、\\P=\begin{pmatrix} 1  & -3 & -2 \\ 1 & 3 & 3\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}となる。また、P^{-1}=-\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} -3  & -4 & 3 \\ 5 & 0 & 5 \\ -4 & -2 & -6 \end{pmatrix}\\よって対角化するとZ=P^{-1}CP\\=\begin{pmatrix} -1  & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}}$$

問4

$${解4.X^5=(P^{-1}AP)^5=P^{-1}APP^{-1}AP…P^{-1}AP\\=P^{-1}A^5Pより\\PX^5P^{-1}=A^5\\\,\\X^5=\begin{pmatrix} 4^5  & 0 \\ 0 & 2^5 \end{pmatrix}より\\PX^5P^{-1}=\\\begin{pmatrix} 1  & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}・\begin{pmatrix} 4^5  & 0 \\ 0 & 2^5 \end{pmatrix}・-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1  & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}4^5 & 2^5 \\4^5 & -2^5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1  & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-4^5-2^5 & -4^5+2^5 \\-4^5+2^5 & -4^5-2^5  \end{pmatrix}\\よってA^5=\begin{pmatrix}528 & 496 \\496 & 528  \end{pmatrix}}$$