【複雑？】双子素数と三つ子素数の関係

双子素数とは、

(p, p+2)がどちらも素数であるときの組

のことを言います。

(3, 5) (11, 13) (59, 61)

などが双子素数ですね。

素数は無限に存在しますが、双子素数が無限に存在しているかどうかはわかりません。未解決問題です。

次に、三つ子素数について。

三つ子素数とは、

(p, p+2, p+6) または (p, p+4, p+6)がすべて素数であるときの組

のことを言います。

(11, 13, 17)

(67, 71, 73)

(101, 103, 107)

などが三つ子素数ですね。

なぜ(p, p+2, p+4)という形ではないかというと、この組で素数になるのは(3, 5, 7)しかないから。

他のどんな組においても、必ず1つは3の倍数が含まれてしまうため、一方は差が4になっているのです。

双子素数と同様、三つ子素数は無限に存在するかわかっていません。

さて、双子素数と三つ子素数にはどのような関係があるのでしょうか？

双子素数よりも三つ子素数の方が条件が強そうだから、

『三つ子素数』なら『双子素数』になるんじゃないの？

と思われるかもしれません。

しかし、実は必ずしもそうではないのです。

すべての素数は、以下の4つのグループに分けられます。

①双子素数かつ三つ子素数である

②双子素数だが三つ子素数でない

③三つ子素数だが双子素数でない

④双子素数でも三つ子素数でもない

一つずつ考えていきましょう。

①双子素数かつ三つ子素数である

例えば、(5, 7, 11)について。

(5, 7)は双子素数ですし、(5, 7, 11)は三つ子素数です。

よって、5と7は双子素数かつ三つ子素数ですね。

また、(11, 13)も双子素数なので、11も双子素数かつ三つ子素数です。

双子素数かつ三つ子素数の例を挙げると、以下のとおりです。

5, 7, 11, 13, 17, 19, 41, 43, 71, 73, ...

②双子素数だが三つ子素数でない

例えば、(59, 61)について。

これらの素数は双子素数ですが、三つ子素数にはなりません。三つ子素数になるためには、59−4=55または61+4=65が素数である必要がありますが、条件を満たしていないのです。

よって、59, 61は双子素数ですが三つ子素数ではありません。

双子素数だが三つ子素数でない例を挙げると、以下のとおりです。

29, 31, 59, 61, 137, 139, ...

③三つ子素数だが双子素数でない

例えば、(37, 41, 43)について。

(37, 41, 43)は三つ子素数ですが、37は双子素数ではありません。37−2=35または37+2=39が素数である必要がありますが、条件を満たしていないのです。

よって、37は三つ子素数だが双子素数ではありません。

三つ子素数だが双子素数でない例を挙げると、以下のとおりです。

23, 31, 47, 67, 97, 113, ...

④双子素数でも三つ子素数でもない

①〜③に当てはまらない数を挙げると、

2, 53, 79, 83, 89, 127, 131, ...

と続きます。

2桁は少ないですが、3桁になるとそこそこあるようです。大きい数になればなるほど、素数の間隔が広いケースが多くなりやすいです。よって、双子素数や三つ子素数も少なくなる傾向がありますね。

(何をもって少ないか判断するのは難しいので、厳密な言い方ではないのはご了承ください)

いかがでしたか？

双子素数と三つ子素数の関係。単純ではないことがお分かりいただけたと思います。

共通してるのは、どちらも無限に存在するかわかっていないことですね。いつか解明される日が来るのでしょうか？

志ある方は、ぜひチャレンジしてみてください！笑

素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。