【階乗】「二重階乗素数」もある～Double Factorial Prime～

以前、「階乗素数」という素数を紹介しました。階乗を使った式で表されていますね。

さらに、「素数階乗素数」も紹介しました。こちらは、「素数階乗」という特別な階乗を使っています。

今回は、さらにマニアックな「二重階乗素数」を紹介します。その前に、まずは「二重階乗」を説明しましょう。

二重階乗

階乗は、「!」を一つ使って以下のように定義されましたね。

n! = n×(n-1)×…×2×1

二重階乗は「二重」という名の通り「n!!」を使います。

定義を説明する前に、具体例。

5!! = 5×3×1 = 15
8!! = 8×6×4×2 = 384

そう、数字を一つ飛ばしでかけているのです。同じ数を2回かけるわけではないのでご注意ください。

二重階乗 (Double Factorial)

nが偶数のとき、
n!! = n×(n-2)×…×6×4×2

nが奇数のとき、
n!! = n×(n-2)×…×5×3×1

ただし、n=-1, 0のときは
n!! = 1

「一つ飛ばしで数字をかけざんする」。これが理解できれば大丈夫です。

さあ、二重階乗を紹介したところで、二重階乗素数を説明していきます！

二重階乗素数

トップ画にもありますが、二重階乗素数は以下のように表せる素数のことをいいます。

階乗素数や素数階乗素数と同じように、「階乗」に±1をしたものになっています。同じ形なのでわかりやすいですね。

具体例を挙げます。

★「n!!－1」型の素数

2 = 3!! －1 = 3×1－1

7 = 4!! －1 = 4×2－1

47 = 6!! －1 = 6×4×2－1

383 = 8!! －1 = 8×6×4×2－1

10321919 = 16!! －1 = 16×14×12×10×8×6×4×2－1

51011754393599 = 26!! －1 = 26×24×22×20×18×16×14×12×10×8×6×4×2－1

1130138339199322632554990773529330319359999999 = 64!! －1
= 64×62×60×…×6×4×2－1

★「n!!+1」型の素数

2 = 1!! + 1 = 0!! + 1 = 1+1

3 = 2!! + 1 = 2+1

当然のことながら、nが大きくなると桁数はグンと増えます。

大きい数ほど、下の方の桁が「999…」となっていますね。偶数の二重階乗は10の倍数もかけざんしているので、下の方の数字が「000…」となるためですね。「－1」をするので、二重階乗素数は「999…」となりやすいようです。

「n!!+1」の方は、小さい素数がほとんどありません。3の次になると、

518!! + 1

635桁ほどの大きな数になります。  

今のところ、見つかっている二重階乗素数で最大のものは

145706!! － 1

で、桁数は344538だそうです。やばいな…笑。

詳しいことは、以下の英語のサイトをご覧ください。

Double Factorial Prime -- from Wolfram MathWorld

いかがでしたか？

普段から二重階乗素数を意識することはないかと思いますが、「そういう素数もあるんだな～」程度で頭の隅に置いといていただければと思います。

383 = 8!! －1 = 8×6×4×2－1

が二重階乗素数でしたが、383は回文素数でもありますね。

個人的には回文素数は好きなので、覚えておこうと思います笑。

素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !

最後までご覧いただき、ありがとうございました。