【素数or半素数】陳素数とは

○○素数と呼ばれるものはたくさんありますが、今回は『陳素数』というものを皆さんにご紹介します。

素数pが『陳素数』であるとは、

p+2が素数または半素数であることである。

半素数とは、2つの素数の積(p×q)で表される数のことでしたね。

具体例を挙げます。

2 → 2+2=4は半素数(4=2×2)なので、2は陳素数

3 → 3+2=5は素数なので、3は陳素数

5 → 5+2=7は素数なので、5は陳素数

7 → 7+2=9は半素数(9=3×3)なので、7は陳素数

1桁の素数は、すべて陳素数になります。

実は、小さい素数のほとんどが陳素数になっています。

100以下の陳素数は以下の通り。

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89

100以下で、『素数だけど陳素数でない数』は、

43, 61, 73, 79, 97

の5つだけ。100以下の素数の8割が陳素数ということになります。

もちろん大きい数になるとその割合は減ってきますが、10000以下の素数だと、

1229個中633個が陳素数になるようです。つまり、素数の半分以上が陳素数になることがわかりました。

なぜ『陳素数』と呼ばれるかというと、陳景潤
という中国の数学者が、陳素数の性質を満たすような素数が無限にあることを示したからだそうです。

参考文献：Wikipedia

陳素数 - Wikipedia

なんと、陳素数は無限に存在するんですね…！

なぜ驚いているかというと、大概の〇〇素数は無限に存在するかわかっていないからです。

メルセンヌ素数、フェルマー素数といった素数たちは、いくつか見つかっているものの、無限にあるかはわかっていません。大きい数だと、素数判定が大変だからです。

しかし、陳素数は無限に存在すると証明されているのですから、これはすごいことですね…！陳景潤さんの名前を付けるのは当然な気がしてきました…笑。

さて、陳素数の性質を見ていて思ったのは、双子素数の性質と似ているところがあるなーということ。

双子素数はどんな数だったかというと、

p, p+2が共に素数であるとき、

(p, p+2)は双子素数であるという。

つまり、双子素数の小さい方pは、陳素数の条件を満たしているのです。

★小さい双子素数の例

(3, 5)
(5, 7)
(11, 13)
(17, 19)
(29, 31)
(41, 43)

左側の数字pは、いずれも『p+2が素数』を満たしているので、陳素数となることがわかります。

陳素数は無限に存在しますが、双子素数は無限に存在するかわかっていません。未解決問題です。

一見、陳素数というのは双子素数の条件にさらに『半素数』を加えたものなので、条件を緩和した数になっていそうだなと思いました。

つまり、『双子素数の廉価版』なのかなと思ったのです。

ただ、性質からわかるとおり、

双子素数なら必ず陳素数であるとは限らないので、『廉価版』という表現は正しくないかもしれませんね。

(43は双子素数ですが、陳素数ではありません)

陳素数と双子素数の深い関わりが他にあるのかよくわかりませんが、

私は『2つの素数は性質が少し似ているな〜』程度の認識です。もし他に面白い性質があればコメントいただけると幸いです。

(また、記述した内容に誤りがありましたらお知らせください)

いかがでしたか？

陳素数という変わった名前の素数ですが、小さい数だとたくさんあります。

素数を見つけた際はぜひとも、p+2が素数なのか、はたまた半素数なのか確かめてみてください。陳素数を発見できるかもしれません。

素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。