【三角数の拡張】 三角だけど四角！？

(お詫び)
●や○でできた三角形が度々登場しますが、一部きれいに配置できていないものがございます。内容理解にはそんなに影響はありませんので、そのままご覧いただければと思います。

本日は、3月25日。325は以下のような等式で表せるので「三角数」です！

325=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25

どうして「三角数」と呼ばれるかというと、以下のような形で並べられるからです。

　●
●●
●●●

形が三角形になっていますね。よって、次の1, 3, 6, 10, 15は三角数になります。

1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15

ここでふと、僕は思いました。

三角形の作り方は、これだけではないなと。

例えば、以下のような並べ方でも三角形になっているのです。

　　●
　●●●
●●●●●

これを「三角数」と読んでも良いのだろうか…？

実際にどんな数が登場するかを確認すると、

1
1+3=4
1+3+5=9

あれ…？

これは平方数ですね！

平方数になる理由は、以下のように白黒に塗り分けて変形すればわかります。

　　●
　○○○
●●●●●

↓↓↓

●○●
○○●
●●●

尚、平方数は「四角数」とも呼ばれます。「三角数」なのに「四角数」になってしまうのは変なので、

　　●
　●●●
●●●●●

を三角数と呼ぶのはよろしくないようです。

では、もう一つ拡張した場合を考えてみましょう。

　　　　●
　　●●●●●
●●●●●●●●●

これも見た目は立派な三角形ですね。

どんな数が登場するかというと、

1
1+5=6
1+5+9=15

あれれ…？？

これって、一番最初に登場した三角数ではないですか！

1
1+2+3=6
1+2+3+4+5=15

これも、以下のように白黒に塗り分けて変形すれば三角数になることがわかりますね。

　　　　●
　　○○●●●
○○○○●●●●●

↓↓↓

　　●
　 ○○
　●●●
○○○○
●●●●●

ということで、2つ目の三角形の場合は、三角数が飛び飛びに登場します。

それ以降はどうなるのか…？

これ以上書くと長くなるので、気になった方は各自で調べてみてください！

いかがでしたか？

三角の形に並べれば三角数で良い

という単純な話ではないことがわかりました。特に、「三角数」と「四角数」が同じになってしまう現象は面白いなと思いましたね。

ちなみに、昨日は324で、四角数(平方数)でしたね！

324=18×18

実は、三角数と四角数(平方数)が並ぶ日付は、324と325以外にも2通りあります。

・120, 121

△120=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15

□121=11×11

・528, 529

△528=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+32

□529=23×23

あと、クリスマスである12月25日は、三角数かつ四角数です！

△1225=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41+42+43+44+45+46+47+48+49

□1225=35×35

三角数と四角数は、意外と密接に関わっているようです。これ以外にも面白い性質がないか、考えてみようと思います。

素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。