Exponential Idle #1 15パズル・トーラスパズル攻略法

こんにちは。

最近 Exponential Idle というゲームを始めました。
いわば数式を題材にした放置ゲーのようなもので，ポチポチやっていると手元の関数の値が指数関数的にどんどん増えていくので，それを眺めてたのしいな〜っていうゲームです。

指数関数というのはヤバくて，始めて２日程度で「全宇宙の原子の数と同じ数だけ宇宙があったとして，それら宇宙の原子の数の合計と同じ数だけ1の後ろに0を書いた数字」くらいまで行きました。は？？

みんなもやってみよう。

‎Exponential Idle

さて，このゲーム内には色々なアイテムを買える「スター」という通貨があり，これは何もしなくても少しずつたまっていくのですが，パズルのミニゲームをすることで効率的にためることができます。
ミニゲームには，

・15パズル
・トーラスパズル
・矢印パズル

の3種類があり，下のものほど難しく，得られるスターも多くなっています。また，各パズルに3ないし4種類の難易度があります。

この記事では，15パズルとトーラスパズルの攻略法を紹介します。

1. 15パズル攻略法

まずは15パズルです。下のような盤面で，空いているところに数字をスライドさせて，順番に揃えるのが目標です。

これは非常に有名なパズルで，攻略法はネットにあふれています。ここでは，その一つを引用した上で一般化しておきます。

Exponential Idleでは，イージー・ミディアム・ハードの順に盤面のサイズが3×3・4×4・5×5になっています。
4×4の場合の攻略法は以下のサイトで紹介されている通りです。

15パズル攻略法

この記事にある方法は，一般のn×n (n ≧ 3)盤面に応用可能です。すなわち，

下から3行目まで，以下を繰り返す：
　　その行の右2つ以外を揃える
　　右2つを「車庫入れ」する

下2行について，左から2つずつ「車庫入れ」する

ことで，n×n盤面の15パズルは簡単に解くことができます（n×nならn^2-1パズルですが）。

2. トーラスパズル攻略法

次はトーラスパズルです。15パズルと同じく1からn^2までの数字を揃えるのが目標ですが，元から全ての数字が埋まっているかわりに，盤面の上と下・左と右がつながっていて各行各列をスライドさせることができます。

テキストで説明するより後ろに載せた動画で見てもらった方が早いと思います。

このパズルの（私が見つけた）攻略法は2つあり，

・偶数×偶数盤面で使える簡単な方法
・任意のn×n盤面で使える方法

の2つです。
Exponential Idleではイージー・ミディアム・ハードの順に3×3・5×5・6×6でり，効率的にスターが回収できるのはハードなので，偶数×偶数の場合の方法がわかっていれば事足ります。

2-1. 偶数×偶数盤面で使える簡単な方法

これです。

順に説明していきましょう。

(1)右1列以外を揃える

まずは上から順に，右1列以外を揃えます。一番上の行（以下例示は6×6の場合として，1〜5）は簡単です。

2行目では，すでに揃えた部分を動かさないようにしながら，
2行目の一番右に数字をもってくる→左に1個ずらす
を繰り返して右1列以外を揃えます。
これを一番下の行まで繰り返します。

もってきたい数字が同じ行にある場合が少々やっかい（上の動画では23や28の場合）ですが，その場合は一旦その行を動かして目的の数字を一番右にもってきてから上か下に避難させ，行をもとの位置に戻せばよいです。

(2)右1列を揃える

残りが右1列だけの状態になったら，まずはぐりぐり動かして，なるべく揃うようにします（この時点で全て揃ったらラッキーです）（やらなくてもいいです）。

そうしたら，ここから「2箇所を入れ替える」操作の繰り返しで揃えます。
上の動画では，右1列は上から順に
6, 18, 30, 24, 12, 36
となっているので，
「12と18を入れ替える」「18と30を入れ替える」
という2回の操作で揃います。6は揃ってるから次に12を揃えよう，そのあとは18を揃えよう，と考えているだけです。

肝心の入れ替え操作の方法です。12を揃えるために，12と18を入れ替える場合を例にとって説明します。

簡単に言うと，「11の場所に12を，10の場所に11を，…」という具合に，その行の数字の配置を1つずつずらすイメージです。
行を1つ右に→12をもってくる→1つ右に→11をもってくる→…→1つ右に→7をもってくる→1つ右に
という操作でその行が揃い，結果的に12と元いた18が入れ替わる形になります。

これで，偶数×偶数の場合のトーラスパズルは揃います。6×6の場合，平均して1分〜1分20秒くらいで揃えられます。

2-2. 任意のn×n盤面で使える方法

先程の「2箇所を入れ替える」操作は，奇数×奇数の場合機能しません。このままではトーラスパズルを攻略したとはいえない……

そこで，奇数の場合であっても使える方法です。
まず，次の補題を示します。

補題：
L字の位置関係にある3箇所は，4手でサイクリックに入れ替え可能である。

証明：
次の手順で時計回りに入れ替えられます。逆変換により反時計回りに入れ替えることも可能です。

これを用いれば，辺の偶奇にかかわらず揃えることが可能です。5×5を例にとって説明します。

(1) 右1列以外を揃える

ここは変わりません。こんな感じになります。

(2) 右1列を揃える

まず右1列の並びを見て，「3箇所をサイクリックに入れ替える」ことによって揃えることを考えます。上の場合なら，
「20, 10, 15」→「10, 15, 20」
と左にサイクリックにずらすことで揃えられます。

揃える場所がわかったら，

L字になるように移動→補題の手順で入れ替え→L字からもとに戻す

で実際に揃えます。

これで，n×nトーラスパズルを解くことができました。

次回，#2 矢印パズル編でお会いしましょう。