５点＋

「５点＋」

半径１の円周上の５点

$${A\quad(0,1)}$$
$${B\quad(\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{1}{3})}$$
$${C\quad(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})}$$
$${D\quad(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})}$$
$${E\quad(-\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{1}{3})}$$

$${AO}$$の延長線と円との交点$${P}$$
$${CD}$$の中点$${Q}$$
$${EO}$$の延長線と円との交点$${R}$$

$${EB}$$の中点$${S}$$
$${BC}$$の中点$${T}$$

$${\triangle{}APB∽\triangle{}COQ}$$
$${AB:CQ=2:1}$$

$${x^2+y^2=1}$$
$${x^2+(y-1)^2=\frac{4}{3}}$$

$${y=\frac{1}{3}}$$

$${AB=EA=\frac{2}{\sqrt{3}}}$$
$${EB=\frac{4\sqrt{2}}{3}}$$

$${ER^2-EB^2=4-\frac{32}{9}=\frac{4}{9}}$$
$${BR=\frac{2}{3}}$$

$${AC=AD=\frac{4\sqrt{2}}{3}}$$と仮定すると、

対角線の長さがすべて等しい。
$${ABCDE}$$は正５角形である。

$${BC=DE=\frac{2}{\sqrt{3}}}$$

$${AP^2-AC^2=4-\frac{32}{9}=\frac{4}{9}}$$
$${CP=\frac{2}{3}}$$

$${ER^2-EC^2=4-\frac{32}{9}=\frac{4}{9}}$$
$${CR=\frac{2}{3}}$$

$${BR=CP=CR}$$

$${BT=CQ=CT}$$

$${BO^2-BT^2=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}$$
$${TO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

$${CO^2-CQ^2=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}$$
$${QO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

$${CO^2-CT^2=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}$$
$${TO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

$${\triangle{}ABS∽\triangle{}COQ}$$
$${AB:CO=\frac{2}{\sqrt{3}}:1}$$

$${\frac{BS}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$
$${\frac{QO}{CO}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{1}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

$${AC=AD=\frac{4\sqrt{2}}{3}\Longleftrightarrow{}ABCDE}$$は正５角形

仮定は正しい。

$${AC=AD=\frac{4\sqrt{2}}{3}}$$である。
$${\therefore}$$
$${ABCDE}$$は正５角形である。

$${cf.}$$
辺の長さ$${\frac{2}{\sqrt{3}}}$$の正５角形
外接円の半径　$${1}$$
内接円の半径　$${\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$
$${\phi=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

「正５角形予想」

$${PO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}}$$ではない。$${PO=1}$$である。
$${AQ=1+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$ではない。$${AQ=\frac{\sqrt{29}}{3}}$$である。
$${AP=\frac{\sqrt{29}}{3}+\frac{1}{3}}$$ではない。$${AP=2}$$である。
$${\therefore}$$
$${\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$ではない。$${\phi=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$である。（「正５角形予想」）

「フィボナッチの黄金数は正５角形の黄金比ではない。」

「$${\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$は線分ではない。」

$${?}$$