±６（ｒ－１）

球の体積$${\int4\pi{}r^2=4\pi{}r^2\cdot{}r/3}$$

$${r=n}$$   $${4n^2\pi\cdot{}n/3}$$

$${r=0}$$   $${0\pi\cdot0/3}$$

$${r=1}$$   $${4\pi\cdot1/3}$$

$${r=2}$$   $${16\pi\cdot2/3}$$

$${r=3}$$   $${36\pi\cdot3/3}$$

$${r=4}$$   $${64\pi\cdot4/3}$$

$${(4/3)\pi-0\pi=(4/3)\pi}$$      $${(4\cdot1)\pi/3}$$

                                                 $${\pm(4\cdot6)\pi/3}$$

$${(32/3)\pi-(4/3)\pi=(28/3)\pi}$$     $${(4\cdot7)\pi/3}$$

                                                 $${\pm(4\cdot12)\pi/3}$$

$${(108/3)\pi-(32/3)\pi=(76/3)\pi}$$    $${(4\cdot19)\pi/3}$$

                                                 $${\pm4\cdot18)\pi/3}$$

$${256/3)\pi-(108/3)\pi=(148/3)\pi}$$   $${(4\cdot37)\pi/3}$$

差の数列   $${1, 7, 19, 37, \cdot\cdot\cdot \{1+6(r-1)\}}$$   $${r\geqq1}$$

率の数列   $${0, 6, 12, 18, \cdot\cdot\cdot \{6(r-1)\}}$$   $${r\geqq1}$$

半径$${r-}$$半径$${1}$$と膨張率は正比例である。   $${+6(r-1)}$$   $${r\geqq1}$$

半径$${r-}$$半径$${1}$$と収縮率は正比例である。   $${-6(r-1)}$$   $${r\geqq1}$$

$${\therefore}$$

球の体積の膨張率と収縮率は$${\pm6(r-1)}$$である。   $${r\geqq1}$$

$${cf.}$$

$${r=1}$$のとき、$${1}$$

$${r=\frac{1}{2}}$$のときの$${+\{1-(\frac{1}{2})^3\}}$$

$${r=0}$$のとき、$${0}$$

$${r=\frac{1}{2}}$$のときの$${-(\frac{1}{2})^3}$$

$${r=\frac{1}{2}}$$のとき、

$${\frac{4}{3}\pi{}r^3=\int_{0}^{1}\frac{4}{3}\pi{}\{\sqrt{r^{2\cdot3}}-\sqrt{(r-1)^{2\cdot3}}\}=0}$$

球の表面積$${(\frac{4}{3}\pi{}r^3)'=4\pi{}r\cdot{}r}$$

$${r=n}$$   $${4n\pi\cdot{}n}$$

$${r=0}$$   $${0\pi\cdot0}$$

$${r=1}$$   $${4\pi\cdot1}$$

$${r=2}$$   $${8\pi\cdot2}$$

$${r=3}$$   $${12\pi\cdot3}$$

$${r=4}$$   $${16\pi\cdot4}$$

$${4\pi-0\pi=4\pi}$$   $${(4\cdot1)\pi}$$

                           $${\pm2}$$

$${16\pi-4\pi=12\pi}$$   $${(4\cdot3)\pi}$$

                           $${\pm2}$$

$${36\pi-16/pi=20\pi}$$   $${(4\cdot5)\pi}$$

                            $${\pm2}$$

$${64\pi-36\pi=28\pi}$$   $${(4\cdot7)\pi}$$

差の数列$${1, 3, 5, 7, \cdot\cdot\cdot\{2r-1\}}$$   $${r\geqq1}$$

率の数列$${0, 2, 2, 2, \cdot\cdot\cdot\{2\}}$$   $${r\geqq1}$$

半径$${r-}$$半径$${1}$$と膨張率は一定である。   $${+2}$$   $${r\geqq1}$$

半径$${r-}$$半径$${1}$$と収縮率は一定である。   $${-2}$$   $${r\geqq1}$$

$${\therefore}$$

球の表面積の膨張率と収縮率は$${\pm2}$$である。   $${r\geqq1}$$

$${cf.}$$

$${r=1}$$のとき、$${1}$$

$${r=\frac{1}{2}}$$のときの$${+\{1-(\frac{1}{2})^2\}}$$

$${r=0}$$のとき、$${0}$$

$${r=\frac{1}{2}}$$のときの$${-(\frac{1}{2})^2}$$

$${r=\frac{1}{2}}$$のとき、

$${4\pi{}r^2=\int_0^14\pi\{r^2-(r-1)^2\}=0}$$

$${\therefore}$$

球の表面積の膨張率と収縮率は$${\pm2}$$である。   $${r\geqq1}$$

$${cf.}$$

$${r=\frac{1}{2}}$$のとき、

$${4\pi{}r^2=\int_0^14\pi\{r^2-(r-1)^2\}=0}$$

球の体積の膨張率と収縮率は$${\pm6(r-1)}$$である。   $${r\geqq1}$$

$${cf.}$$

$${r=\frac{1}{2}}$$のとき、

$${\frac{4}{3}\pi{}r^3=\int_0^1\frac{4}{3}\pi\{\sqrt{r^{2\cdot3}}-\sqrt{(r-1)^{2\cdot3}}\}=0}$$