±6(r-1)
球の体積$${\int4\pi{}r^2=4\pi{}r^2\cdot{}r/3}$$
$${r=n}$$ $${4n^2\pi\cdot{}n/3}$$
$${r=0}$$ $${0\pi\cdot0/3}$$
$${r=1}$$ $${4\pi\cdot1/3}$$
$${r=2}$$ $${16\pi\cdot2/3}$$
$${r=3}$$ $${36\pi\cdot3/3}$$
$${r=4}$$ $${64\pi\cdot4/3}$$
$${(4/3)\pi-0\pi=(4/3)\pi}$$ $${(4\cdot1)\pi/3}$$
$${\pm(4\cdot6)\pi/3}$$
$${(32/3)\pi-(4/3)\pi=(28/3)\pi}$$ $${(4\cdot7)\pi/3}$$
$${\pm(4\cdot12)\pi/3}$$
$${(108/3)\pi-(32/3)\pi=(76/3)\pi}$$ $${(4\cdot19)\pi/3}$$
$${\pm4\cdot18)\pi/3}$$
$${256/3)\pi-(108/3)\pi=(148/3)\pi}$$ $${(4\cdot37)\pi/3}$$
差の数列 $${1, 7, 19, 37, \cdot\cdot\cdot \{1+6(r-1)\}}$$ $${r\geqq1}$$
率の数列 $${0, 6, 12, 18, \cdot\cdot\cdot \{6(r-1)\}}$$ $${r\geqq1}$$
半径$${r-}$$半径$${1}$$と膨張率は正比例である。 $${+6(r-1)}$$ $${r\geqq1}$$
半径$${r-}$$半径$${1}$$と収縮率は正比例である。 $${-6(r-1)}$$ $${r\geqq1}$$
$${\therefore}$$
球の体積の膨張率と収縮率は$${\pm6(r-1)}$$である。 $${r\geqq1}$$
$${cf.}$$
$${r=1}$$のとき、$${1}$$
$${r=\frac{1}{2}}$$のときの$${+\{1-(\frac{1}{2})^3\}}$$
$${r=0}$$のとき、$${0}$$
$${r=\frac{1}{2}}$$のときの$${-(\frac{1}{2})^3}$$
$${r=\frac{1}{2}}$$のとき、
$${\frac{4}{3}\pi{}r^3=\int_{0}^{1}\frac{4}{3}\pi{}\{\sqrt{r^{2\cdot3}}-\sqrt{(r-1)^{2\cdot3}}\}=0}$$
球の表面積$${(\frac{4}{3}\pi{}r^3)'=4\pi{}r\cdot{}r}$$
$${r=n}$$ $${4n\pi\cdot{}n}$$
$${r=0}$$ $${0\pi\cdot0}$$
$${r=1}$$ $${4\pi\cdot1}$$
$${r=2}$$ $${8\pi\cdot2}$$
$${r=3}$$ $${12\pi\cdot3}$$
$${r=4}$$ $${16\pi\cdot4}$$
$${4\pi-0\pi=4\pi}$$ $${(4\cdot1)\pi}$$
$${\pm2}$$
$${16\pi-4\pi=12\pi}$$ $${(4\cdot3)\pi}$$
$${\pm2}$$
$${36\pi-16/pi=20\pi}$$ $${(4\cdot5)\pi}$$
$${\pm2}$$
$${64\pi-36\pi=28\pi}$$ $${(4\cdot7)\pi}$$
差の数列$${1, 3, 5, 7, \cdot\cdot\cdot\{2r-1\}}$$ $${r\geqq1}$$
率の数列$${0, 2, 2, 2, \cdot\cdot\cdot\{2\}}$$ $${r\geqq1}$$
半径$${r-}$$半径$${1}$$と膨張率は一定である。 $${+2}$$ $${r\geqq1}$$
半径$${r-}$$半径$${1}$$と収縮率は一定である。 $${-2}$$ $${r\geqq1}$$
$${\therefore}$$
球の表面積の膨張率と収縮率は$${\pm2}$$である。 $${r\geqq1}$$
$${cf.}$$
$${r=1}$$のとき、$${1}$$
$${r=\frac{1}{2}}$$のときの$${+\{1-(\frac{1}{2})^2\}}$$
$${r=0}$$のとき、$${0}$$
$${r=\frac{1}{2}}$$のときの$${-(\frac{1}{2})^2}$$
$${r=\frac{1}{2}}$$のとき、
$${4\pi{}r^2=\int_0^14\pi\{r^2-(r-1)^2\}=0}$$
$${\therefore}$$
球の表面積の膨張率と収縮率は$${\pm2}$$である。 $${r\geqq1}$$
$${cf.}$$
$${r=\frac{1}{2}}$$のとき、
$${4\pi{}r^2=\int_0^14\pi\{r^2-(r-1)^2\}=0}$$
球の体積の膨張率と収縮率は$${\pm6(r-1)}$$である。 $${r\geqq1}$$
$${cf.}$$
$${r=\frac{1}{2}}$$のとき、
$${\frac{4}{3}\pi{}r^3=\int_0^1\frac{4}{3}\pi\{\sqrt{r^{2\cdot3}}-\sqrt{(r-1)^{2\cdot3}}\}=0}$$
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