５点

「5点」

辺の長さ$${2}$$の正５角形
外接円の半径$${\sqrt{3}}$$
内接円の半径$${\sqrt{2}}$$
$${\therefore}$$
黄金率$${\phi=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$
$${cf.}$$
$${2\cdot2\cdot\sqrt{2}=\sqrt{3}\cdot\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

「半径$${1}$$の円周上の５点」

$${(0,  1)}$$
$${(\frac{2\sqrt{2}}{3},  \frac{1}{3})}$$
$${(\frac{1}{\sqrt{3}},  -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})}$$
$${(-\frac{1}{\sqrt{3}},  -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})}$$
$${(-\frac{2\sqrt{2}}{3},  \frac{1}{3})}$$ 

辺の長さ$${\frac{2}{\sqrt{3}}}$$の正５角形
外接円の半径$${1}$$
内接円の半径$${\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$
$${\therefore}$$
黄金率$${\phi=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$
$${cf.}$$
$${\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot2\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=1\cdot\frac{4\sqrt{2}}{3}}$$

$${\sin18^{\circ}=\frac{1}{3}}$$
$${\sin36^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}}$$
$${\sin54^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$
$${\sin72^{\circ}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}$$

$${\cos18^{\circ}=\frac{2\sqrt{2}}{3}}$$
$${\cos36^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$
$${\cos54^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}}$$
$${\cos72^{\circ}=\frac{1}{3}}$$

$${\tan18^{\circ}=\frac{1}{2\sqrt{2}}}$$
$${\tan36^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$$
$${\tan54^{\circ}=\sqrt{2}}$$
$${\tan72^{\circ}=2\sqrt{2}}$$

$${x^2+y^2=1}$$
$${cf.}$$
「The Paper Rule」

「教科書とは違っているけれど５点 」  $${?}$$

$${cf.}$$

中心Oの５角形$${ABCDE}$$

$${AO}$$の延長線と円との交点$${P}$$
$${CD}$$の中点$${Q}$$
$${EO}$$の延長線と円との交点$${R}$$とすると、

$${x^2+y^2=1}$$
$${x^2+(y-1)^2=\frac{4}{3}}$$

$${y=\frac{1}{3}}$$

$${AB=EA=\frac{2}{\sqrt{3}}}$$
$${EB=\frac{4\sqrt{2}}{3}}$$

$${\triangle{}APB∽\triangle{}COQ}$$
$${AB:CQ=2:1}$$

$${AC=AD=\frac{4\sqrt{2}}{3}}$$と仮定すると、

$${ER^2-EB^2=4-\frac{32}{9}=\frac{4}{9}}$$
$${BR=\frac{2}{3}}$$

$${AP^2-AC^2=4-\frac{32}{9}=\frac{4}{9}}$$
$${CP=\frac{2}{3}}$$

$${ER^2-EC^2=4-\frac{32}{9}=\frac{4}{9}}$$
$${CR=\frac{2}{3}}$$

$${BR=CP=CR}$$

$${EB}$$の中点$${S}$$
$${BC}$$の中点$${T}$$とすると、

$${BT=CQ=CT}$$

$${BO^2-BT^2=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}$$
$${TO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

$${CO^2-CQ^2=1-\frac{1}{1}=\frac{2}{3}}$$
$${QO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

$${CO^2-CT^2=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}$$
$${TO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

$${\triangle{}ABS∽\triangle{}COQ}$$
$${AB:CO=\frac{2}{\sqrt{3}}:1}$$

$${\frac{BS}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$
$${\frac{QO}{CO}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{1}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

$${ABCDE}$$が正５角形ならば仮定は正しい。
$${\therefore}$$
$${ABCDE}$$は正５角形である。

$${cf.}$$
辺の長さが$${\frac{2}{\sqrt{3}}}$$の正５角形
外接円の半径　$${1}$$
内接円の半径　$${\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$
$${\phi=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

$${?}$$