T

「T」

$${\triangle{}ABO}$$
$${\angle{}ABO=\angle{}BAO=54^\circ}$$
$${\angle{}AOB=72^\circ}$$

$${\triangle{}ABT}$$
$${\angle{}ABT=36^\circ}$$
$${\angle{}BTA=90^\circ}$$

$${\triangle{}OBT}$$
$${\angle{}OBT=18^\circ}$$
$${\angle{}BTO=90^\circ}$$

$${AT:OT=2:1}$$

$${BO=1}$$とすると、

$${OT=\frac{1}{3}}$$
$${BT=\frac{2\sqrt{2}}{3}}$$

$${AT=\frac{2}{3}}$$
$${AB=\frac{2}{\sqrt{3}}}$$

$${AB=2}$$とすると、

$${BO=\sqrt{3}}$$
$${OT=\frac{1}{\sqrt{3}}}$$
$${AT=\frac{2}{\sqrt{3}}}$$

$${BT=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

$${\therefore}$$
正５角形の辺と対角線の比は
$${1:\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$である。

$${\because}$$
$${AB}$$の中点$${P}$$
$${AT}$$の中点$${Q}$$とすると、

$${\triangle{}PAQ}$$
$${AP=1}$$
$${AQ=\frac{1}{\sqrt{3}}}$$
$${PQ=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

$${\angle{}PBQ=\angle{}PQB=18^\circ}$$
$${\angle{}APQ=36^\circ}$$

$${\triangle{}POQ}$$
$${OP=\sqrt{2}}$$
$${OQ=\frac{2}{\sqrt{3}}}$$
$${PQ=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

矛盾はない

$${cf.}$$

$${\triangle{}ABT\sim\triangle{}AOP}$$

$${\triangle{}ABT}$$
$${AB=2}$$
$${AT=\frac{2}{\sqrt{3}}}$$
$${BT=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$$

$${\triangle{}AOP}$$
$${AO=\sqrt{3}}$$
$${AP=1}$$
$${OP=\sqrt{2}}$$

しかし$${\triangle{}ABO}$$
$${AB=2}$$、$${AO=BO=\sqrt{3}}$$のとき、
$${\angle{}ABO=\angle{}BAO=54^\circ}$$
$${\angle{}AOB=72^\circ}$$であるのか$${?}$$

$${?}$$

（教科書的には不正解である。）