任意の行列は対称行列と交代行列の和で一意に表される。

証明にあたって「一意」という言葉から直ぐに思い付くのは背理法である。 任意の行列は対称行列と交代行列の和で一意に表せないと仮定する. ここで,任意の行列Mに対して,Mの転置行列を$${^{t}M}$$として, $${A=\frac{M+^{t}M}{2}}$$ $${B=\frac{M-^{t}M}{2}}$$ とする. すると,$${^{t}A=\frac{^{t}M+M}{2}}$$となり,$${^{t}A=A}$$で,Aは対称行列である. また,$${^{t}B=\f