サピックス：4年生：夏期講習5日目：算数のメモ

規則性：等差数列と階差数列

1. 等差数列

1.1 定義

等差数列とは、隣り合う項の差が一定の数列のこと。

1.2 一般項の求め方

• 基準は先頭（初項）

• n番目の項 = 初項 + (n-1) × 公差

例：

• 初項 2、公差 3 の場合

• 10番目 = 2 + (10-1) × 3 = 29

• 20番目 = 2 + (20-1) × 3 = 59

1.3 特定の項の位置を求める方法

例：77は何番目か

• 77 - 2 (初項) = 75

• 75 ÷ 3 (公差) = 25

• 25 + 1 = 26番目

1.4 等差数列の和

公式：(初項 + 末項) × 項数 ÷ 2

例：2から29までの10項の和

• (2 + 29) × 10 ÷ 2 = 155

2. 階差数列

2.1 定義

各項が1から自身の番号までの整数の和となる数列。

2.2 一般項

n番目の項 = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

例：

• 20番目 = 20 × 21 ÷ 2 = 210

• 30番目 = 30 × 31 ÷ 2 = 465

2.3 逆算問題

与えられた数が何番目の項かを求める。

方法1：公式を使用
n(n+1)/2 = 与えられた数
n^2 + n = 2 × 与えられた数

方法2：平方数に近い数を探す

例：820は何番目か

• 820 × 2 = 1640

• 40^2 = 1600、41^2 = 1681

• 40 × 41 = 1640

• よって、40番目

3. 図形の重なり

3.1 長方形以外の図形

• 同じ傾きで重ねる場合、元の図形を含む最小の長方形を考える

• 正三角形の場合：三角形を含む最小の長方形で考える

• 四角形の場合：四角形を含む最小の長方形で考える

3.2 相似の活用

図形の重なりを考える際、相似を使うことで効率的に解けることがある。