娘方程式による息子予想

1✕2−3、2✕3−4、3✕4−5・・・としていくと、答えの増え方に法則があることを見つけた息子（小4）と娘は（小1）。こうして数字遊びして法則を発見するのが楽しいらしい。 https://t.co/Ba4RRIvsnw

この法則について息子としゃべってると、「一個おきに答えが素数なんじゃないか？」
23、47、79・・・素数だ！
じゃあ、11✕12−13は？119。うーん、これは素数じゃない。ただ、7×17で、素数2つの掛け算は半素数というらしい。

13✕14−15は167。あ！素数！15✕16−17は223。あ！これも素数！これ、素数が見つけやすい！

娘方程式で、素数にならなかった数字でも、「素数✕素数」の答えになる？
11✕12−13の答えは119。これは7と17の掛け算で、半素数。
13✕14−15は167、これは素数。
15✕16−17は223、素数。
17✕18−19は287は7と41の掛け算、半素数。
19✕20−21は359、素数。
21✕22−23は439、素数。
23✕24−25は527は17✕31。わ！半素数！

25✕26−27は623、7✕89、あ、素数同士！半素数！
27✕28−29は727、素数。
29✕30−31は839、素数。
31✕32−33は959、7✕137、半素数！
33✕34−35は1087、素数！

えー！これ、スゴイ発見じやないですか！

35✕36−37は1223、またしても素数！
37✕38−39は1367、素数！
39✕40−41は1519、7✕7✕31。あ、ここで法則破れた。でもなんか、7で割れる数字が出やすいみたい。
41✕42−43は1679。23✕73で素数同士の、半素数。
43✕44−45は1847、あ！素数！

45✕46−47は2023、7✕17✕17。半素数ではないけど、また7が約数に入ってる。
47✕48−49は2207、またしても素数！
49✕50−51は2399、素数！
51✕52−53は2599は23✕113で、半素数！
53✕54−55は2807、7✕401で、半素数！
55✕56−57は3023、素数！なんかこれ、大発見じゃないか？

57✕58−59は3247、17✕191、半素数！
59✕60−61は3479、7✕7✕71、半素数じゃないときは7の倍数？
61✕62−63は3719、素数！
63✕64−65は3967、素数！
65✕66−67は4233、41✕103で半素数！
67✕68−69は4487、7✕641、半素数！
69✕70−71は4759、素数！

71✕72−73は5039、素数！
73✕74−75は5327、7✕761、半素数！
75✕76−77は5623、素数！
77✕78−79は5927、素数！
79✕80−81は6239、17✕367で、半素数！
81✕82−83は6559、7✕937で、半素数！
83✕84−85は6887、71✕87で、半素数！

これまでの計算から察するに、「娘方程式による息子予想」は、
「aが奇数のとき、
a✕（a＋1）−（a＋2）
つまりa✕a−2の答えは、
・素数
・半素数
・7の倍数
のいずれかになる」
となりそう。
誰か証明して！