弦理論入門②～臨界次元の導出～

2.量子化

重心

　古典論の時に話忘れたのでここで重心座標,重心運動量を定義します.

$${x^{\mu}(\sigma^0)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}d\sigma^{1}X^{\mu}(\sigma^0,\sigma^1)}$$
$${p^{\mu}(\sigma^0)=\int_{0}^{\pi}d\sigma^{1}P^{\mu}(\sigma^0,\sigma^1)}$$

　重心に関する量は上のように小文字で表します.

正準交換関係

　古典論の範囲で弦を記述できたので,位置と運動量に正準交換関係を課して量子化します.すなわち,$${\bm{X},\bm{P}}$$を

$${[X^{i}(\sigma^{0},\sigma^{1}),P^{j}(\sigma^{0},\sigma^{1'})]=i\delta^{ij}\delta(\sigma^{1}-\sigma^{1'})}$$
$${[X^{i}(\sigma^{0},\sigma^{1}),X^{j}(\sigma^{0},\sigma^{1'})]=[P^{i}(\sigma^{0},\sigma^{1}),P^{j}(\sigma^{0},\sigma^{1'})]=0}$$

を満足する演算子として扱います.運動方程式の平面波解

$${X^{i}=e^{-in\sigma^{0}}\cos(n\sigma^{1}),\quad n\in\mathbb{Z}}$$

を用いて$${X^{i}}$$を展開した時,

$${X^{i}=x^{i}+2\alpha'p^{i}\sigma^{0}+i\sum_{n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}}\frac{\sqrt{2\alpha'}}{n}\alpha_{n}^{i}\cos(n\sigma^{1})e^{-in\sigma^{0}}}$$
$${P^{i}=\frac{1}{\pi}p^{i}+\sum_{n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}}\frac{1}{\pi\sqrt{2\alpha'}}\alpha_{n}^{i}\cos(n\sigma^{1})e^{-in\sigma^{0}}}$$

となるとします.このとき,$${\bm{P}=\frac{\bm{\dot{X}}}{2\pi\alpha'}}$$となることを考慮しています.
　正準交換関係から,この展開係数について,

$${[x^{i},p^{i}]=i\delta^{ij}}$$
$${[\alpha_{n}^{i},\alpha_{m}^{j}]=m\delta_{n+m}\delta^{ij}}$$
$${(i,j=1,\cdots,D-2)}$$

が成立します.これは交換関係に展開した式を代入して,フーリエ級数展開と同じ要領で計算すれば出ます.

　この$${\alpha_{-n}^{i},\alpha_{n}^i}$$はそれぞれ生成演算子と消滅演算子に対応しています.

ウィック回転

　変数を新たにとります.

$${\tau\coloneqq i\sigma^0}$$
$${\sigma\coloneqq\sigma^1}$$

として,$${\tau}$$を実数だと思い込んで計算をします.これを,$${i}$$倍が複素平面上で$${\frac{\pi}{2}}$$回転になることからウィック回転といいます.
　さらに,

$${\rho=i(\sigma^0+\sigma^1)=\tau+i\sigma}$$
$${\overline{\rho}=i(\sigma^0-\sigma^1)=\tau-i\sigma}$$

と変換します.この変換により,

$${\frac{\partial}{\partial\sigma^0}=\frac{\partial\rho}{\partial\sigma^0}\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{\partial\overline{\rho}}{\partial\sigma^0}\frac{\partial}{\partial\overline{\rho}}=i(\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{\partial}{\partial\overline{\rho}})}$$
$${\frac{\partial}{\partial\sigma^1}=\frac{\partial\rho}{\partial\sigma^1}\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{\partial\overline{\rho}}{\partial\sigma^1}\frac{\partial}{\partial\overline{\rho}}=i(\frac{\partial}{\partial\rho}-\frac{\partial}{\partial\overline{\rho}})}$$
$${\frac{\partial(\sigma^0,\sigma^1)}{\partial(\rho,\overline{\rho})}=\frac{1}{2}}$$

となるから,作用積分は

$${S_{L.C.}=\frac{1}{2\pi\alpha'}\int d^2\rho(\partial_{+}\bm{X})\cdot(\partial_{-}\bm{X})}$$
（ただし,$${\partial_{+}=\frac{\partial}{\partial\rho},\partial_{-}=\frac{\partial}{\partial\overline{\rho}}}$$）

になります.
　また,

$${z=e^{\rho}=e^{\tau+i\sigma}}$$

として,

$${X^{i}=X_{L}^{i}(z)+X_{R}^{i}(\overline{z})}$$
$${X_{L}^{i}=\frac{1}{2}x^{i}-i\alpha'p^{i}\ln z+i\sum_{n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}}\frac{\sqrt{2\alpha'}}{2n}\alpha_{n}^{i}z^{-n}}$$
$${X_{R}^{i}=\frac{1}{2}x^{i}-i\alpha'p^{i}\ln \overline{z}+i\sum_{n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}}\frac{\sqrt{2\alpha'}}{2n}\alpha_{n}^{i}\overline{z}^{-n}}$$

とおけます.このとき,コーシーの積分定理より,

$${\alpha_{n}^{i}=\frac{2}{\sqrt{2\alpha'}}\cdot\frac{1}{2\pi}\oint dzz^{n}\partial_{z}X_{L}^{i}(z)}$$

と表せます.また,

$${\check{X}^i(z)=-i\alpha'p^i\ln z+i\sum_{n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}}\frac{\sqrt{2\alpha'}}{2n}\alpha_{n}^{i}z^{-n}}$$

とおけば,

$${X_{L}^{i}(z,\overline{z})=\frac{1}{2}x^{i}+\check{X}^i(z)}$$

と表せます.

演算子積展開法

　相関関数

$${N^{ij}(z,\overline{z};w,\overline{w})\coloneqq N^{ij}(z,w)}$$
$${\coloneqq\langle X^{i}(z)X^{j}(w)\rangle}$$
$${\coloneqq\langle0|T(X^{i}(z,\overline{z})X^{j}(w,\overline{w}))|0\rangle}$$

を定義します.$${T}$$は時間積といって,時間を表す$${\tau=\ln|z|}$$が大きい量を左に並べる演算子です.$${\alpha_n^i(n>0)}$$は消滅演算子に相当するので,

$${\alpha_n^{i}|0\rangle=0}$$

となることに注意すると,展開した形の

$${X^{i}=X_{L}^{i}(z)+X_{R}^{i}(\overline{z})}$$
$${X_{L}^{i}=\frac{1}{2}x^{i}-i\alpha'p^{i}\ln z+i\sum_{n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}}\frac{\sqrt{2\alpha'}}{2n}\alpha_{n}^{i}z^{-n}}$$
$${X_{R}^{i}=\frac{1}{2}x^{i}-i\alpha'p^{i}\ln \overline{z}+i\sum_{n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}}\frac{\sqrt{2\alpha'}}{2n}\alpha_{n}^{i}\overline{z}^{-n}}$$

を代入して,交換関係を用いると

$${N^{ij}(z,w)=-\delta^{ij}\alpha'(\ln|z-w|+\ln|z-\overline{w}|)}$$

または

$${N^{ij}(z,w)=-\frac{1}{2}\delta^{ij}\alpha'\ln(z-w)}$$

と計算できます.
　今求めた相関関数を用いて,交換関係を計算できる公式が導かれます.まず次のようにあらわされる量を考えます.

$${\alpha_{f}(\tau)=\frac{1}{2\pi i}\oint dzf(z)\partial_{z}X^{i}(z),\quad f:正則}$$

ただし,積分経路は半径一定の円周とします.この時,$${X^i}$$と$${\partial_{a}X^i}$$の積で表される物理量$${B(w)}$$と$${\alpha_{f}(\tau)(ただし \tau=\ln|w|)}$$の交換関係は

$${\langle[\alpha_{f}(\tau),B(w)]\rangle=\langle\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_w}dz f(z)\partial_{z}X^{i}(z)B(w)\rangle}$$

と表せます.ただし,$${C_w}$$という経路は半径$${\tau-\varepsilon}$$の円周と半径$${\tau+\epsilon}$$の円周を組み合わせた経路で,$${\varepsilon\to0}$$として計算するものとします.$${\langle\cdot\rangle}$$は時間積を含んでいるので,上の右辺の積分は交換関係に等しくなります.

　次の項でこの公式を用いて計算を行います.

3.臨界次元

ローレンツ不変性

　ここで理論のローレンツ不変性を要請します.すると,ローレンツ変換の生成子

$${J^{\mu\nu}=\int_{0}^{\pi}d\sigma[X^{\mu}P^{\nu}-X^{\nu}P^{\mu}]}$$

がローレンツ代数

$${[J^{\mu\nu},J^{\rho\lambda}]=-i\eta^{\nu\rho}J^{\mu\lambda}+i\eta^{\nu\lambda}J^{\mu\rho}-i\eta^{\mu\lambda}J^{\nu\rho}+i\eta^{\mu\rho}J^{\nu\lambda}}$$

を満足しなければいけません.

　今回は光円錐ゲージを採用しているので,すべての座標を対等に扱っておらず,特に$${\pm}$$成分に関する交換関係が非自明になっています.採用したゲージによって,$${+}$$成分は計算が容易になっているので$${-}$$に関する成分を計算します.
　ローレンツ代数を満足するならば

$${[J^{i-},J^{j-}]=0}$$
$${(i,j=1,\cdots,D-1)}$$

となります.この交換関係を満たすように$${D}$$を決定します.まず,

$${J^{i-}=\int_{0}^{\pi} d\sigma(X^i P^- -X^- P^i)}$$

を計算します.ウィック回転した$${X^-,P^-}$$は,古典論においてヴィラソロ条件から得た

$${X^{-'}=\frac{1}{P^{+}}\bm{P}\cdot\bm{X}}$$
$${P^{-}=\frac{1}{2P^{+}}[\bm{P}^{2}+\frac{1}{(2\pi\alpha')^2}\bm{X}'^{2}]}$$

より,

$${P^-(z,\overline{z})=\frac{-1}{4\pi p^+}[(\partial_{+}\bm{X})^2 + (\partial_{-}\bm{X})^2-\alpha'(D-2)\sum_{n=1}^{\infty}n]}$$
$${X^{-}(z,\overline{z})=x^{-}(z)-\frac{1}{2\alpha'\pi p^+}[\int d\rho(\partial_{+}\bm{X})^2+\int d\overline{\rho}(\partial_{-}\bm{X})^2 +C(\tau)]}$$

と求まります.ここで,$${C(\tau)}$$は

$${\int_{0}^{\pi}d\sigma[\int^{\rho}d\rho(\partial_{+}\bm{X})^2+\int^{\overline{\rho}}d\overline{\rho}(\partial_{-}\bm{X})^2 +C(\tau)]=0}$$

となるように定めます.
　これらにより,

$${J^{i-}=-x^{-}p^{+}-\frac{1}{p^{+}\alpha'^{2}}\cdot\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{dz}{z}\{(z\partial_{z}\bm{X})^{2}-\frac{1}{2}\alpha'(D-2)\sum_{n=1}^{\infty}n\}\check{X}^i (z)}$$

と計算できます.$${[J^{i-},J^{j-}]}$$を正準交換関係と演算子積展開法を用いて計算すると,

$${[J^{i-},J^{j-}]=\frac{1}{(p^{+})^{2}\alpha'^{2}}\cdot\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{dw}{w}[(\frac{D-2}{24}-1)\{w\partial_{w}X^{i}w\partial_{w}(w\partial_{w}X^{j})-w\partial_{w}X^{j}w\partial_{w}(w\partial_{w}X^{i})\}+(\frac{D-2}{24}+\frac{1}{2}(D-2)\sum_{n=1}^{\infty}n)[\check{X}^{i}w\partial_{w}X^{j}-\check{X}^{j}w\partial_{w}X^{i}]]}$$

を得ます.ただし,$${\zeta}$$関数を解析接続した$${-1}$$での値

$${\sum_{n=1}^{\infty}n=-\frac{1}{12}}$$

を用いました.
　ローレンツ代数を満たすならば,右辺の各項の演算子の係数はすべて0で,

D=26

となります.
　ここに臨界次元が26次元であることが示されました.閉弦で考えても同じ結果が導かれます.

おわりに

　今回の企画で弦理論の本当にさわりの部分だけ触れました.最後の交換関係計算は結構面倒です.各自宿題ということで…