数式の視点から見る「y = f(x)」とy=bxやa=x^n

y = f(x) という数式は、従属変数（y）と関数（f(x)）を結ぶもの

具体的には、x という独立変数（independent variable）を入力として、関数 f が x に対してどのように値を返すかを表しています。

y は具体的な出力を示し、f(x) は入力 x の性質や振る舞いを表す

例えば、y = 5 という場合、y の値は5です。

f(x) は関数であり、x の値に応じて異なる値を返します。この関数は、x の性質や振る舞いを表します。

したがって、f(x) は y の説明や要約、性質を表すものであり、y の値を決定する主体となります。

f(x) は、入力 x に対してどのように変化するかを示す関数であり、その性質や特性を理解することで、y の振る舞いを理解することができます。

簡潔に言えば、y は結果であり、f(x) はその結果を導くプロセスや法則を表す

このように、数式を通じて y と f(x) の関係を理解することで、数学的な視点からも問題を考えることができます。

y=f(x)について、イコールで結ばれているので、左辺と右辺は同じだと思いがちですが、f(x)は関数で、数式で、yは数値という１つの数なので、f(x)はyの説明、要約、性質を表すという事で、主体はyということだったんだなと。

変数と方程式のドミノ効果: 数学的な関係を理解するためのイメージング

分かりやすく理解したかったのでこんな風に解釈してみました。
例えば、y=2xがあって、x=5のとき、y=10です。
10=2*5
このとき、どちらも結果は10なのですが、右辺では変数xによって左辺のyが生まれたと解釈すれば、「右辺は差異や誤差が0の状態で、左辺を説明している」となるんだねと。イメージするとすれば、ｙ=2xで、x=5のときの10は、後からみれば、10=2*5であり、結果は10=10ですが、発生の仕方は、ドミノ倒しのように、まず右辺が出来てそれが左辺になっていくようなイメージです。

次元の舞台裏: 数学的な関係における軸の役割と流れ

さらにいえば、xy軸は二次元と言いますが、x軸が1次元の軸で、y軸が2次元の軸だったんだと。すると、z軸は3次元の軸なんだと。いうのは、xy軸でのy=2xや、y=x^2では、2次元になるための決定要素はyにあるんだと。そして、xy軸上では、yの要素は、変数xのある項からだけしか成立していないんだと。いうことは、定数項、例えば、y=2x+2の2はyを構成していないの？となりますが、構成していないんだと思ってしまいました。詳しく何故と説明してみると、式の上では構成しているようにみえますが、グラフで描かれているのは、y=2xの直線だけですので、グラフ上の2xのxに対するyという点の集合体であるy=2xのyと、y=2x+2のyとは別物のように思えてくるのでした。

でもそうでもないみたいです。確かに、直線というライン、形においては2xにおけるxに対応するyの集合体ですが、座標上の「位置」という視点でみれば、ｙという座標のy座標は、２xのxに対応するyの値だけでは未完成であり、そこへ、定数項をプラスしてはじめて座標上の点になっているんだと。

ということは、y=2xとy=2x+2では、左辺のyは同じyですが意味合いが違うｙとなります。ここで定数項は位置決めの要素となっているということでした。y=2xとy=2x+2ではグラフの形は同じだけど、位置が違う2本のグラフになっています。ここで、位置は最高次元軸上で決まっている場合と、それ以外の軸上で決まる場合があります。定数項は最高次元軸上で決まる位置決めの要素となっているんだと。

yの要素はxのある項だけで、でも、定数項は最高次元軸（xy軸ならy軸、xyz軸ならz軸）上を動く要素、つまり、最高次元軸の要素にはなっているんだと。座標上での位置といえば、定数項も加味したｘのある項でこれがy=2x+2のyだといえます。

一方、グラフの形、ラインを作っているのは、y=2x+2では2xの部分だけで、でも、定数項２はy軸上を動く要素。たとえば、物差しで書いた線はyの値の集合体なので、この直線ｙ＝2xという直線の要素は、2xの値つまり、xのある項だけがyの要素になっています。で、定数項２はy軸上を動きます。式でみれば、あらゆるxを代入した2xの値に対して+2しているので、結果的に２ｘという集合体はy軸方向へ2平行移動しているとなっているので、定数項２はグラフ自体は構成していないながらも、グラフ自体を移動させる強力な要素で、それは、グラフ自体の位置、ポジションを決める要素で、座標軸上では、定数項も含めたライン2xというf(x)の位置をyで表しているんだと。特に、2xのx=0のときの定数項のことをy切片とよばれているんだと。

そしてxy座標の点は、yが定まって初めて点になるんだと。x要素だけでは線という1次元のままで、2次元という面には展開しないんだと。で、2次元に展開させるためには、xの成分プラスアルファ傾きという成分が必要で、傾きとx成分が掛け合わされて初めて2次元に展開していくんだと。

前次元の軸　×　傾きという値＝前次元の次の次元の値

まずは1次元のｘ要素が定まってそこへ傾きという２という値を掛け合わせてから、2次元のy要素になるということですね。y=f(x)における、右辺→左辺の流れがなければ、左辺→右辺つまりyが先に定まり、ｘが後から定まるということはないんだと。

次元の究極: 3次元空間における変数の役割とグラフの生成

さらにいえば、3次元になるためには、zが定まらなければいつまでも2次元のままで、最後の決定要素はzにあるんだと。なので、y=2xのxy座標上のグラフで考えてみると、右辺も左辺も同じなんだから、右辺の2xだけでもいいのでは？とはならず、左辺のyが決定して初めてxy上のグラフの点が発生することになるんだと。いうことは、左辺は二次元のy軸の動きをあらわし、右辺は1次元というx軸の動きを表しているのかなとも思えてきたり。

式の対比: 右辺と左辺の関係から見る方程式の解釈

たとえば、y-2=2xと、y=2x+2はどちらも同じグラフでどちらもyが最終結果の値です。となると、y=2x+2は右辺の計算結果が、左辺のyへ如実にあらわされているのでしっくりきました。

原点の探求: 方程式における左辺と右辺の意味

一方、y-2=2xでは、yという最終結果から-2されているとなります。最初は、y軸から―2平行移動してから、(0.-2)を新しい原点とし、そこから2xのグラフを書く？と思っていました。ですが、左辺は決定した値ｙしかないということだったのですね！！

方程式の意味: 左辺と右辺のバランスから見る変数の補完

ということは、「y-2=2xでは、右辺の2xというx軸上の移動はしました。でもそれだけだと、答のyという値にゴールするにはー２つまり、2不足していますよ」ということだったのではないかと。言い換えますと、２ｘという答だけだと、本当の答えのyという値には2足りませんよという意味だったんだと。だから、不足分の２を、２xに足してあげましょうよということで、
y=2x+2になったんだと。いうことは、2xに2足せば、ｙというゴールになりますよという意味がｙ=2x+2であり、y-2=2xは答のyというゴールから2差し引けば2xになるけれど、yというゴールに到達するためには、2xに2を足さなければいけません、だから、2xの値というyの値の候補がきまれば、それに２だけy軸という2次元の方向へ２ｘで得た点を移動すれば、yという答えになりますよという意味で、違いだったんだと。

方程式の比較: 左辺と右辺から見る変数の関係

というわけで、y-2=2xもy=2x+2も結局yは同じ値に帰着しますが、y-2=2xでは2xに焦点をあて、それがｙとどれだけずれているかということがわかり、y=2x+2ではｙという答が右辺だけで完結していることや、yに焦点をあて、それが2xとどれだけズレ（定数項部分）があるかがわかる、ということだったんだなと💡

方程式の解釈: 左辺と右辺から見る変数の役割と動き

実は、式という左辺と右辺は、左辺がy軸の動きを表していて、右辺がx軸つまり一次元の動きを最優先したy軸の動きなのではないかなと今なら気付けます。

そして、x要素は、その項にxがある項だけで、整数項（定数項）はy軸上を移動するy要素なんだと。で、右辺にある場合と左辺にある場合とでどう違う？みたいなことを分からなかったので理由の様なものをイメージしてみました。

y-2=2xの場合、流れとしては、右辺のｘ要素が決まってはじめてそれがyの値となるということと、定数項は最高次元の軸の要素ということと思ったので、xy軸上での定数項２はy軸上を動く要素なんだなと。

方程式の解釈とグラフ: 定数項の役割と変数の動き

で、いつ２だけy軸上を平行移動させるのかなと？

y-2=2xの場合、ｙを変数ｘのある項に対応する結果だけを表していると解釈する場合、y=2xとなり、では左辺の-2は何？となります。そこで、定数項はxy軸上ではy軸が最高次元の軸なので、定数項の左辺の-2はy軸上まず、左辺はy軸の動きだとすれば、まず原点からy軸方向へ-2移動させ、それを原点とします。そこから、y=2xのグラフが発生していると考えました。
そして、y=2x+2では、まずｘ要素、たとえばx=5を代入し、2*5=10という2x=f(x)の関数上の1点の集合体であるy=2xのグラフが定まってから、そのグラフごとy軸上に２シフトするということなのではないかしらと。こんな風にイメージしたら、なんとなくy-2=2xとy=2x+2の違いみたいなものがわかった気分。2のy軸上の移動の時期なんて実はどっち、いつでもいいのかなとも思いました。

f(x)関数の解釈: 変数の数式と性質の関係

そしてf(x)という関数について、f(x)ってのは変数がxという無数の数式をまとめて表していて、f(x)=具体的な数式　によって、はじめて、1つの変数を持つ関数がどんな数式か、右辺の数式は左辺のｆ（ｘ）を説明している、左辺のf(x)の性質を数式で表しているんだなと。

代入演算子の理解: f(x)関数と数式の関係から見る代入の意味

これで、代入演算子のイコールもしっくりきます。
f(x)=数式のとき、右辺を左辺に代入するということについて、代入と言われてもしっくりきませんでした。
ですが、f(x)という関数について、f(x)そのものは、あらゆるxを変数とする式なら、welcomeだよという意味だということ、そして、f(x)=数式のとき、数式として表された右辺は、無数にあるだろうと思わせる数式の中の1つの式が、選ばれて、それが左辺のf(x)に＝によって、f(x)といえば、右辺の数式だよという意味に決定づけられたということなんだなと。そうなれば、f(x)=数式について、右辺の数式をf(x)に代入したよと言われれば、代入したことによって、左辺のあらゆる数式を候補とする中で、右辺のとある数式が選ばれたんだな、つまり代入されることで、f(x)といえば？となれば、右辺の数式となるってことなんだなと、なるほどでした。

代入演算子とは - IT用語辞典

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