窓内の円

2019.02月号より，文 Юрий Белецкий ＋図 Алексей Вайнер

■オデッサ州立フィルハーモニー協会（建築家-A.I.ベルナルダーツィ）
の窓は，円と弧のパターンで装飾されています．
この窓は，すばらしい幾何学問題を提供しています．

下の白板に描いたように，小さな３つの円の中心O_1，O_2，O_3は1つの直線上にのります．証明してください．

■この問題をみて思い浮かべるのは，以前掲載した以下の2つの記事です．
アポロニウスの窓，アルべロス（靴屋のナイフ）という形のなかに面白い幾何学世界があります．
反転の利用ーパップスの定理
https://note.com/sgk2005/n/n56056054e23c

インドラの網と反転円
https://note.com/sgk2005/n/nec1396b13bd4

アルべロス（下図のオレンジ色の形）の中で，パップスの定理が成立しています．しかし，円ω_2と円ω_1の中心を結ぶ線は，水平ではありません．

いま問題になっているオデッサの窓内の円では，O_1，O_2を結ぶ直線は水平になるのですが，その原因は，外側の大きな円（半径r）内で重なり合う2つの円（半径ar）に接するように，半径xrの円を決定することによります．しかる後に，この半径xrの円に接するように，半径yrの円を描くと，この円の中心は半径arの中心線上に存在するようです．
問題のオデッサの建物図では，a=2/3（大きな円の直径を3等分する位置に柱がある）のようですが，実は，同じ半径の円が重なっていれば（任意の1/2<a<１）成り立つようです．接する4つの円の半径の間にはデカルトの定理という式が成り立ちますが，それを計算するのは容易ではありません．幾何で解くことにしました．

円の接する条件を図示すると，辺の長さが，1-x，1-a，a+y，x+yの4角形になります．4角形の対角線は，a+x，1-yです．この条件は関係する円が接するための条件です．1-xの辺が垂直なのは対称性から明らか，半径yrの円の中心と，半径arの円の中心を結ぶa+yも垂直として，xとyを解くと，

このx，yを用いて，互いに対向する辺の長さを求めると，互いに等しいことが証明でき，矛盾は出ません．

従って，この4角形は長方形になり，辺ｘ＋ｙは水平であることがわかります．