雪の結晶の対称性

「雪は天から送られた手紙（中谷宇吉郎）」という言葉がありますが，雪の結晶が生まれ・成長した気圏の状況（温度，湿度など）により，様々な形の雪片が観察できます．これらの写真の中で，絶対にありえない雪の結晶が２つあります．どれとどれでしょうか？

美しい幾何学

この雪の結晶の問題はp.37にあります．

■雪片の形の対称性は6mmです．

ーーーーーーーーーー注
６は6回回転対称軸の意味，mは鏡映対称面．6mm（点群の記号）の意味は，紙面に垂直に6回回転対称軸があり，その6回回転軸を含む鏡映面m（従って，鏡映面は紙面に垂直）が共存する状態です．点群の説明は別な機会にします．ただ，6mmが正しく6mは正しくない表記であることだけご注意ください．その理由は，紙面に垂直な鏡映面（6回回転軸を面内に含む）は，6回回転対称軸があると，60°づつで計3枚の鏡映面ができます．それに加えて，これら3枚の鏡映面間に新しい鏡映面3枚が生じています．初めの3枚の鏡映面と，後の3枚の鏡映面は，それぞれのクラスの中で6回回転対称軸の操作で移り変われるのですが，前者と後者のクラス間での移り変りはできないので，それぞれ別のクラスであると考えます．そのため6mmのように，mを２つならべるのが正しいのです．
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雪片の形は雪（氷）の結晶の内部構造（分子配列）が反映されて外形にでたものです．以下に氷の結晶構造の2次元模式図を示します．水分子はH2O(酸素原子Oの両側に水素原子Hが結合し，その結合角度は約120°）で，両端の水素原子は，隣の分子の酸素原子と弱い相互作用（水素結合）をしています．そのためこのような6mmの対称性（点群）の結晶になります．

（注）下図のような繰り返し壁紙模様の対称性は，空間群で記述されます．
ここで，周期的（格子）に移動できるモチーフはすべて同値とみると（無限に続く時間を，時計の文字盤の12までの数に繰り返しに押し込めるのと同じ原理），繰り返し模様をモチーフの1つに押し込めることができ，空間群を点群に帰着させることができます．3次元では，空間群は210種，点群は32種あります．

（注）数学らしくいうと，「空間群を並進群（格子）を核として準同型写像したものが点群」です．少し詳しい話は別の機会にいたします．

（注）氷の内部構造は6回対称ですから，6回対称性は外部の形にも反映されています．その上，氷の結晶の成長時の環境を反映して（雪は天から送られた手紙），成長の様子は変化します（6回対称性は変わりませんが）．

雪片（雪の結晶）の形は，デンドライトという形です．
これは，比較的速く結晶が成長するときにできます．
金平糖も似たような現象で出来るデンドライトといえますが，
1粒の金平糖全体で砂糖結晶の方位が揃った単結晶というわけでは
ないので，それが雪の結晶とは違うところです．