Zテトラミノを正方形に詰める

Vladimir Kovaldzhi, "Kvantik" №1, 2020

クバンチクの問題に，以下のようなものがありました．
（問題）正方形（セル数2019×2019）があります。そこからZ-テトリミノ（セル数4）をできるだけ多数切り取る［あるいは，できるだけ多数のz-テトラミノを詰め込む］とき，残されたセルの最小数はいくらですか？

Zテトラミノとは下図のような4つのセルでできた部品です．

５×５の正方形の中に，zテトラミノをできるだけ多く詰め込みます．
どんなに頑張っても4つ以上は入りません．例えば，下図は一つの例です．敷き詰められず残ったセルは9個です．（着色セル）

同様に，7×7の正方形に，ｚテトラミノをできるだけ多く詰め込むと，13個敷き詰められないセルが残ります．配置の一例は下図です．

なかなか難しい問題です．ご挑戦下さい．

（2n-1)×(2n-1）の正方形の場合は，セルの残りは4n-3であるようです．
これを証明してください．

正方形の１辺が偶数2nの正方形では，敷き詰めで残るセル数は2n+2，または，2nとなるようです．　（４の倍数かどうかで場合分け）