新型コロナの数理モデル研究（１）

表題テーマの「数学月間懇話会（第19回）」を，2023年7月22日，13:00-17:00，東京大学数理科学研究科棟002教室にて実施しました．主催はNPO法人数学月間の会（理事長：岡本和夫）です．
以下の２つの講演（それぞれ90分）により構成され，総合司会を稲葉寿（東京学芸大）が行いました．（注）2020年の数学月間懇話会で実施した講演：感染症の数理モデル，稲葉寿（東大）も参照

(1)　パンデミックで活躍する数理モデル：國谷 紀良（神戸大学大学院システム情報学研究科）
(2)　新型コロナウイルス感染症のデータサイエンスと政策科学；土谷隆（政策研究大学院大学）

今回は，講演（１）を紹介します．講演（２）は次号で紹介します．
（注）2021年の数学月間懇話会で実施した講演：新型コロナウイルス感染症と統計数理， 土谷隆（政策研究大学院大学）も参照

講演（１）國谷 紀良（神戸大学大学院システム情報学研究科）
■まず，感染症の数理モデル（集団内での感染症の流行を表す微分方程式など）の研究史の概略紹介がありました．
SIRモデルとは，集団が３つの部分集団$${S，I，R}$$で構成されるとして，それらの集団の増減を微分方程式で表したものです．ここで，$${S}$$は，感受性（感染可能性）のある集団，$${I}$$は，感染中で他人を感染させる力のある集団，$${R}$$は，回復集団（再感染はしないと仮定）です．
感染率$${\beta}$$，回復率$${\gamma}$$とすると，SIRモデルの基本微分方程式が得られます：
$${S'=-\beta SI}$$,    $${I'=\beta SI-\gamma I}$$,    $${R'=\gamma I}$$
これは，ケルマックとマッケンドリックが1927年に発表した論文「感染症流行の数学的理論への貢献」によります．
感受性のみの集団に侵入した１感染者が算出する新規感染者数を「基本再生産数」$${R_0}$$といい，$${R_0>1}$$のときに流行が起こります．
感染症の種類，ウイルス株，国や地域によって$${R_0}$$は独特の数値を持ち，麻疹は12-18，インフルエンザで1.2-1.4ですが，covid-19では2.4-3.4でした．　

果樹園における感染症の伝搬を，格子点上の隣接する木から感染する確率を$${p}$$として，モンテカルロ法によるパーコレーションの研究をし，流行の臨界値を研究したのは，ブロードベントとハマーズリー（1957）でした．

SEIRモデルは，感受性$${S}$$の集合から感染$${I}$$の集合に移る間に，潜伏期$${E}$$の集合を入れて得られます．このとき，$${E}$$から$${I}$$への遷移確率$${\varepsilon}$$を入れます．微分方程式は次のようになります：
$${S'=-\beta SI}$$,   $${E'=\beta SI-\varepsilon E}$$,   $${I'=\varepsilon E-\gamma I}$$,   $${R'=\gamma I}$$

SEIRモデルを日本の流行初期(2020/1/15)～2/29）のデータに適用して，基本再生産数$${R_0}$$を推計すると，$${R_{0}=2.6}$$が得られました．

■緊急事態宣言などの介入の効果検証
不要不急の外出自粛，飲食店，映画館，デパートなどの休業，テレワークの推進などが行われ，「接触8割減」が提唱されました．

第1回目緊急事態宣言（2020/4/7-5/25）では，期間中に実効再生産数が減少し，期間の最後で最小値になり，期間終了解除後にリバウンドが現れました．感染率の減少割合$${r^{*}=0.86}$$，　実効再生産数$${R_{c}=(1-r^{*})R_{0}=0.36}$$

■無症候感染を含むSEIRモデルは，次のようになります：
$${S'=-(\beta_{1}E+\beta_{2}I)S}$$,   $${E'=(\beta_{1}E+\beta_{2}I)S-\varepsilon E}$$,   $${I'=\varepsilon E-\gamma I}$$,   $${R'=\gamma I}$$

SRIRモデルを用いて，流行の抑制に十分な発症者隔離率$${\nu}$$を求めます．ソーシャルディスタンスによっても，発症者隔離によっても感染率の減少効果はみられますが，介入の組み合わせが効果的であることを示すマップ（横軸：ソーシャルディスタンスによる感染率減少効果，縦軸：発症者隔離による感染率減少効果）が得られました．
検査隔離のある状態モデルでは，偽陽性による隔離と真陽性による隔離の２つの部分集団が追加されたものです．

■数理モデルはワクチン接種法の検証にも適用した．
COVID-19に対し，累積死亡者数を最小化するためのワクチン1回目と2回目の最適な接種間隔を，構造化感染症モデルによって調べ，
ファイザーとアストラゼネカを想定したパラメータでは，いずれも接種間隔が3～4週間よりも長い方が良いという結果を得た．
感度分析では，仮想的なワクチンの2回目の意義が大きいほど，短い接種間隔が最適であるという示唆が得られた．

■研究中課題
均質ではない集団（年齢構造化など）にSIRモデルを適用したり，出生と死亡を含むSIRモデル，平衡解の大域安定性の問題，周期解の存在など興味深い問題の研究も行っている．