無限集合の枢機卿(Cantorには聖歌隊先唱者の意味がある)：ゲオルグ・カントールの伝記

無限大とは非常に大きな数ではありません．無限大は特定の数よりも大きく，つまり，自分自身よりも大きいのです．それゆえに，アリストテレスは，これを無限に続くプロセスと見なしました．しかし，カントールは，無限にも大きさ（濃度）があることを証明しました．可算無限（有理数の集合が例）と非可算無限（実数の集合が例）．

イアン・スチュアート 
(Ian Stewart. Significant Figures: The Lives and Work of Great Mathematicians)出版社「アルピナ ノンフィクション」、2019年
偉大な数学者の生涯と発見　より，ゲオルグ・カントール

アルキメデスからウィリアム・サーストンまで、歴史上最も偉大な 25 人の数学者の発見と運命。

«Значимые фигуры». Глава из книги

無限集合の枢機卿

ゲオルグ・フェルディナント・ルートヴィヒ・フィリップ・カントール
生まれ：ロシア、サンクトペテルブルク、3月3日[2月19日旧式]1845年
死亡:ドイツ、ハレ、1918 年 1 月 6 日

止まることなく永遠に続く無限の概念は、太古の昔から人を魅了してきました。哲学者はこのトピックを心ゆくまで楽しんでいました。過去数世紀にわたって、特に数学者は無限大広く使用し、多くの異なる文脈で異なる解釈に使用してきました。 無限大は非常に大きな数ではありません。厳密に言えば、無限大は特定の数よりも大きいため、数ではありません。無限が数であれば、それはそれ自体よりも大きくなければならないことになります。アリストテレスは、無限とは無限に続くプロセスと見なしました。どの数に到達しても、常により大きな数を見つけることができます。哲学者はこれを潜在的な無限と呼んでいます。

いくつかのインドの宗教、その中のジャイナ教は、文字どおり多くの人に魅了されています。ジャイナ教の数学書スーリヤ・プラグナプティで、インドの先見の明ある数学者が、紀元前 400 年頃に、無限の大きさにはいろいろあると宣言しました。神秘的なナンセンスのようだが、無限が存在できる最大のものである場合、どのようにしてある無限が別の無限よりも大きくなることができるでしょうか?　19世紀の終わりに、ドイツの数学者ゲオルグ・カントールは、メンゲンレーレ (集合論) を開発し、それを使用して、無限はアリストテレスの潜在性のプロセスだけでなく実在する可能性があることを宣言しました。

当時、多くの数学者もこの考えを神秘的なナンセンスだと考えていました。カントールは、今日の世界では訴訟の対象になりそうな言葉を使った批評家との果てしない戦いをしなければなりませんでした。彼はうつ病に苦しんでいましたが、それはおそらく彼が絶えずさらされ​​ていた嘲笑からさらに悪化しました。しかし今日、ほとんどの数学者はカントールが正しかったと信じています。実際、最小の無限大とそれよりも大きな無限大の区別は、応用数学の多くの分野、主に確率論において基本的なものです。そして集合論は数学一般の論理的基礎です。カントールの考えの正当性を早くから理解していた偉大な数学者の 1 人であるヒルベルトは、次のように述べています。カントールが創造した楽園から、私たちを追い出すことは誰にもできません。

***　中略　**********************

数学の基礎に関する研究が盛んになり、何世紀にもわたって実数を無限小数として扱った後、数学者はそれが何を意味するのか疑問になり始めました。たとえば、数値 π の無限 10 進数表現を記述するのは不可能で、私たちはそれを求めるルールを確立することしかできません。1872 年、三角級数に関する彼の論文の 1 つで、カントールは有理数の収束列の極限として実数を決定する新しい方法を導入しました。同じ年に、デデキントは有名な論文を発表しました。この論文では、有理数を 2 つの互いに素な部分集合に分割して、一方の部分集合のすべての要素が他方の部分集合のどの要素よりも小さい「切断」の観点から実数を定義しました。 その中で、彼はカントールの記事を引用しました。

1873 年までに、カントールは研究に没頭し、その結果、彼が集合論と超限数 (無限を表す彼自身の用語) の分野で重要な人物であることを示しました。それ以来、集合論は、主題を説明するための便利で柔軟な言語を提供するため、あらゆる数学コースの不可欠な部分になりました。形式に踏み込まない場合、集合とは、数値、三角形、リーマン面、順列など、あらゆるオブジェクトの集まりです。集合はさまざまな方法で組み合わせることができます。たとえば、2 つの集合の結合は、これら 2 つの集合を 1 つに結合した場合に得られるものであり、それらの交差はそれらに共通するすべてのものです。集合を使用すると、関数や関係などの基本的な概念を定義できます。要素をまったく持たない空集合を使用すると、より単純な部分から整数、有理数、実数、複素数などの数のシステムを構築できます。

超限数は、「要素の数」の概念を無限集合に拡張する方法です。カントールは、1873 年に有理数が可算であることを証明したときに、この考えに出あいました。つまり、それらは自然数 1、2、3、... と 1 対 1 で対応することができます (この背後にある考え方と用語については後で説明します)。この結果は当然のことですが、彼はすぐに実数が数えられないという証拠を発見しました。彼は 1874 年にこれに関する論文を発表しました。この年は、カントールにとって個人的に非常に重要な年でした。この年にWali Gutmanと結婚し、この結婚で彼らは6人の子供を持つことになります。

実数の無限大よりもさらに大きな無限大を求めて、カントールは単位正方形内のすべての点の集合を考えました。2 次元正方形は、1次元実線よりも多くの点を持つのでしょうか? カントールは、デデキントへの手紙の中で彼の意見を表明しました。
面 (たとえば、境界を含む正方形) を線 (たとえば、境界点を含む線分) に一意に関連付けて、面上のすべての点が線上の点に対応し、その逆に、線上の各点は表面上の点に対応させることは可能ですか? この質問に答えるのは難しいと思いますが、答えは、「いいえ」で、証明はほとんど不要に思えます。

しかし、彼はすぐに、答えが思ったほど明白ではないことに気付きました。(数学者にとって「証明が不必要に思える」ということは雄牛にとっての赤布のようなものです） 1877 年に、カントールはそのような対応が実際に存在することを証明しました。「それを見て、私は自分の目を信じることができません」と彼は書いています。しかし、彼がそれについての論文を権威ある純粋応用数学ジャーナル (Journal für die reine und angewandte Mathematik)に提出したとき、優秀だが非常に保守的な数学者で、当時の著名人であったレオポルド・クロネッカーは、彼の議論に納得せず、論文が受理され出版されたのはデデキントの仲介によるものでした。 カントールがそのジャーナルに二度と論文を投稿しなかったのは、ある程度正当な理由があります。代わりに、1879 年から 1884 年の間に 彼は、おそらくフェリックス・クラインの影響下にあり、集合論と超限数に関する彼の論文の大部分を雑誌 ( Mathematical Annalen ) に送りました。

***

カントールの話を続ける前に、彼のアイデアの革新的な性質を理解し、おおよそそれらが何であるかを理解する必要があります. 当時の用語で述べたのでは混乱を招くので、後世の新しい用語で述べることにします．

ガリレオは、科学の 2 つの新しい分野に関する論文の中で、幾分逆説的に、無限についての根本的な問題を提起しました。この本は、サルヴィアーティ、シンプリチオ、サグレドの対談形式で書かれています。サルヴィアーティは常に議論に勝ち、シンプリチオには勝つチャンスはなく、サグレドの役目は司会者です。サグレドは、可算 (自然) 数を正方形と関連付けて、各数が 1 つの正方形に対応し、各正方形が 1 つの数に対応するようにすることが可能であると述べています。これを行うには、各数値をその正方形に関連付けるだけで十分です。

有限数の場合、オブジェクトの 2 つのセットをこのように相互に関連付けることができる場合、それぞれに同じ数の要素が含まれている必要があります。テーブルに座っている人それぞれが自分のナイフとフォークを 1 つづつ持っている場合、フォークの数はナイフの数に等しく、両方ともテーブルにいる人の数に等しくなります。したがって、正方形がかなりの距離で離れており、すべての数のかなり「まばらな」部分集合を形成しているという事実にもかかわらず、数とまったく同じ数の正方形があるように見えます。サグレドは次のように結論付けています。

カントールは、この状況はそれほど悲観すべきものではないことに気づきます。彼はこの種のマッチング (1 対 1対応) を使用して、集合が有限であるか無限であるかに関係なく、集合の「要素の数が等しい」特性を定義しました。これなら、これらの集合に実際にいくつの要素が含まれているかを知らなくても実行できます (それ自体が興味深いことです)。ナイフとフォークを使って自分たちでやっただけです。したがって、論理的には、「要素の数」の前に「等しい数の要素」が来ます。これは驚くべきことではありません。たとえば、2 人の人物の具体的な身長がわからなくても、同じ身長であることがわかります。

特定の数値を導入するには、特定の標準集合を選び出し、その要素を標準集合の要素と 1 対 1 で対応させることができる他の集合は、それと同じカーディナリティ（濃度）を持っていると言えば十分です。無限集合の標準パターンの明白な選択は、超限基数集合を定義する自然数の集合であり、カントールはその基数を「アレフゼロ」と呼んだ。ここでアレフはヘブライ語のアルファベットの最初の文字で、ゼロはゼロです。記号で$${ℵ_0}$$と書くことができます。定義により、自然数の集合に 1 対 1 で対応する集合は、カーディナリティ $${ℵ_0}$$を持ちます。サルヴィアーティは、正方形の集合にもカーディナリティ $${ℵ_0}$$があることを証明しました。

このステートメントは逆説的に思えます。結局のところ、明らかに、正方形ではない数があります。それだけでなく、「ほとんどの」数は正方形ではありません。このパラドックスは、無限集合からいくつかの要素を削除してもカーディナリティが低下しないことに同意することで解決できます。集合のカーディナリティに関しては、全体がその部分よりも大きい必要はありません。ただし、サルヴィアーティに従い、比較の考え方そのものを拒否する必要はありません。全体が部分よりも大きいか等しいと仮定すれば、妥当な結果が得られます。結局のところ、概念としての無限大の要点は、常に有限数のように振る舞うとは限らないということです。ここでの主な問題は、どこまで行けるか、どのような問題を解決できるかです。

カントール の次の主要な発見は、有理数の集合 (簡単にするために、正の数だけに制限します) もカーディナリティ $${ℵ_0}$$を持つことでした。これらは、次のように自然数と 1 対 1 で対応できます。

一番上の行は、有理数を数値順に並べるのではなく、別の方法で並べています。有理数の複雑度は、分子と分母の合計として定義されます。同じ数が 2 回含まれないように、分子と分母が共通の約数を持たない有理数のみを考慮します。たとえば、2/3 と 4/6 は同じ有理数です。最初のものだけ取りましょう。まず、有理数を複雑になる順にクラスに分けてみましょう。そのような各クラスは有限です。次に、各クラス内で分数を分子の昇順で並べます。したがって、複雑度クラス 5 は次のように並べられます。

1/4 2/3 3/2 4/1.

任意の正の有理数がいずれかのクラスに一度だけ含まれることを証明するのは簡単です。それに割り当てられる自然数は、順序付きリスト内の最後の数になります。

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これまで、$${ℵ_0}$$ は無限を表す巧妙な記号であり、すべての無限は同じであると考えていたかもしれません。しかし、次の発見はそのような仮定を覆します。実数の集合は、自然数の集合と1対1に対応することはできません。

1874 年のカントールの最初の証明は、数論の問題の 1 つである超越数の存在を対象としていました。代数的数は、整数係数を持つ多項式を満たす数です。たとえば、数 √2 は、方程式$${x^2 −2 = 0}$$の解です。数が代数的でない場合は、超越数と呼ばれます。たとえば、数$${e}$$を満たす同様の方程式は知られていませんでしたし、$${ π }$$も超越的であると想定されていました。この仮説は正しいことが判明しました。リウヴィルは 1844 年に超越数の存在を証明しましたが、彼が使用した例は完全に人為的なものでした。カントールは、「ほとんどの」実数が超越的であることを証明しました。このため、彼は、代数的数の集合の濃度が $${ℵ_0}$$であるが、実数の集合の濃度が $${ℵ_0}$$より大きいことを示しました。. 彼の証明は、実数の集合が可算であり、各実数を順番に除外するネストされた区間のシークエンスを構築できることを前提としています。これらの区間の交叉 (空でないことは証明できます) には何らかの実数が含まれている必要がありますが、この数が何であれ、既に除外されているのです。

1891 年、彼はより簡単な証明である有名な対角法を発見しました。実数（簡単にするために0と1の間）が可算であると仮定し、矛盾を導きます。つまり自然数との1対1の対応できる可算数に、それらが配置できるとします。10 進表記では、この種の一致は次のようになります。
1  $${0.a_1a_2a_3a_4...}$$
2  $${0.b_1b_2b_3b_4...}$$
3  $${0.c_1c_2c_3c_4...}$$
4  $${0.d_1d_2d_3d_4...}$$

私たちの仮定によれば、実数はこのリストのどこかにあるでしょう。しかし、このリストにない数を構築できます。次のように、実数$${x}$$の連続する小数点以下の桁数$${x_1, x_2, x_3 ...}$$ を定義 します。

$${a_1 = 0}$$の場合は$${x_1 = 1}$$ とし、そうでない場合は$${x_1 = 0}$$ とします。
$${b_2=0}$$ の場合は$${x_2 = 1}$$ とし、そうでない場合は$${x_2 = 0}$$ とします。
$${c_3=0}$$の場合は$${x_3=1}$$ とし、そうでない場合は$${x_3=0}$$ とします。
$${d_4=0}$$ の場合は$${x_4=1}$$ とし、そうでない場合は$${x_4=0}$$ とします。

$${x_n}$$ が $${n}$$ に対応する実数の小数点以下第$${ n}$$ 位とは常に異なるように、$${x_n}$$を0 または1と置き、このプロセスを無限に続けます。

$${x}$$ はリスト内のどの数値とも異なります。それは、最初の数字とは異なり、2 番目の数字とも異なります。一般に、この数値は小数点以下第$${n}$$位の数値とは異なるため、それが何であれ、仮定したリスト内に存在せず、仮定に矛盾しています。実数の集合は可算ではありません。

同様に、カントール自身がほとんど信じていなかった、カントールの別の発見が構成されています。平面上の点の座標は$${ ( x , y )}$$ 、$${x , y}$$ は実数です。簡単にするために、単位正方形に限定します。10 進表記の$${x}$$ と$${y}$$は次 のようになります。

$${x = 0.x_1 x_2 x_3 x_4 ...}$$

$${y = 0.y_1 y_2 y_3 y_4 ...}$$

このペアに、次のように小数点記号$${x}$$ と $${y}$$ が交互になっている座標の直線上の点を割り当てましょう。

$${0. x_1 y_1 x_2 y_2 x_3 y_3 ...}$$

偶数または奇数の位置にある連続した数字のみを選択してこの数を調べることで$${x}$$ と $${y}$$を再構築できるため、この方法により、単位正方形と実線の単位セグメントとの間で 1 対 1 の対応を得ることができます。この結論を平面全体と数直線全体に拡張するのは簡単です。

カントールのどちらの方法でも解決できない問題が 1 つあります。厳密に $${ℵ_0}$$ と実数の集合の濃度の間にある超限集合は存在しますか?
カントールはそうは思わなかった。彼はこれにふさわしい候補をたくさん試したものの、それほど多くは見つけることができませんでした。この仮定は、連続体仮説として知られるようになりました。第22章では、そのさらなる展開をたどります。

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1874 年から 10 年間、カントールは集合論に全力を注ぎました。彼は数体系の根底にある 1 対 1 対応の意味を発見し、数え方の原則を超限数に拡張しました。彼の作品は非常に独創的であったため、カントールの同時代人の多くはそれを受け入れることができず、その重要性を信じることができませんでした。彼の数学的キャリアは、カントールの革新的なアイデアが哲学的な観点から不適切であると判断したクロネッカーによって台無しにされました。「神である主が整数を作成しました。それ以外はすべて人間の手の仕事です」とクロネッカーは言いました。

カントールは、アリストテレスの潜在的な無限ではなく、集合論が実際の無限を扱うと明確に述べたとき、自分自身を哲学的に置き換えたと言う人もいるかもしれません。この無限は概念的な意味でのみ関連するため、これは誇張されています。数学では、原則として、実際の無限について話しているように見える記述から、無限がすでに純粋に潜在的なもののように見える別の記述に進むことができます。しかし、この移行はしばしばとてつもないものに思えます: カントールが彼の仕事について考える自然な方法は、無限を全体として考えることであり、どの段階でも有限であるが無限に続くことができるプロセスとしてではないと言ったことは正しかった. そのような立場の執拗な反対者は、哲学者ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタインでした。彼は特に対角法に厳しく、カントールの死後も「集合論の有害なアプローチ」について不平を言い続けました。しかし、彼が大声で不平を言い続けた主な理由は、数学者がますますカントールの味方になっていて、誰もウィトゲンシュタインに注意を払っていなかったからです. ウィトゲンシュタイン自身が数学の哲学に非常に興味を持っていたので、これはおそらく特に攻撃的でしたが、一方で、数学者は、数学者がすべて間違っていると頑固に繰り返す哲学者をあまり好きではありません. 集合論 数学者はますますカントールの味方になり、誰もウィトゲンシュタインに注意を払わなかった.

カントールは宗教的であり、数学と彼の信仰を調和させようとしました。当時の無限の性質は、キリスト教の神が無限であると考えられ、彼が唯一の真の無限であると主張されていたため、依然として宗教と強く結びついていました. 整数に関するクロネッカーの発言は、比喩ではありませんでした。そして、カントールが現れ、数学にも実際の無限大があると宣言します...まあ、その後何が起こるべきだったか想像できます。しかし、カントールは次のように述べて、価値のある答えを出しました。これを否定することは、すでに異端のように見えた、神にはある種の制限があると主張することになるため、これは賢明な議論でした。カントールはこれについて教皇レオ 13 世に手紙を書き、数冊の数学論文を送った。神は父がそれについてどう思ったかを知っています。

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数学者は、カントールが何をしていたかを理解していました。ヒルベルトは自分の仕事の重要性を認識し、賞賛しました。しかし、カントールは成長するにつれて、集合論には期待した効果がないと感じました。1899年、彼はうつ病にかかりました。彼はすぐに回復しましたが、自分自身への信頼を失いました。彼は ヨースタ・ミッタク＝レフラーに次のように書いています。現時点で私にできることはまったくありません。うつ病と闘うために、彼はハルツ山脈で休暇を取り、学問的な敵であるクロネッカーと和解しようとしました。クロネッカーはこれに積極的に反応しましたが、両者の関係は緊張したままでした。

数学はカントールを不安にさせた：彼は自分の連続体仮説を証明できないことに苦しんだ。ある時点で、彼はそれを反証することに成功したと思いましたが、すぐに彼の推論に誤りがあることに気づきました。それから彼はそれを証明することに成功したように見えたが、この証明にも誤りが発見された. この時点で、ミッタク＝レフラー は カントールにActa Mathematicaから記事を撤回するように依頼しましたが、それは記事が間違っていたからではなく、「時代より 100 年進んでいた」からでした。カントールはこれにユーモアを交えて反応したが、内心は非常に腹を立てていた。彼は ミッタク＝レフラーへの手紙を書くのをやめ、日記に興味を持たなくなり、一般的に集合論を放棄した。

彼のうつ病は、原則として、2つの方法で現れました。一方で、彼は集合論の哲学的含意に強い関心を持ち始めました。これのもう 1 つの現れは、シェークスピアの作品はすべて実際にはフランシス ベーコンによって書かれたというカントールの確信でした。この強迫観念により、彼はエリザベス朝文学を真剣に研究するようになり、1896 年までに彼のお気に入りの理論に関するパンフレットを発行していました。その後、カントールの母親、弟、末っ子が間もなく死亡した。彼はますます精神障害の兆候を示し始め、1911 年にスコットランドのセント アンドリュー大学がカントールを500 周年記念の主賓として招待したとき、大学で、彼はベーコンとシェイクスピアについての推論にほとんどの時間を費やしました. うつ病は彼の絶え間ない仲間になりました。これに関連して、彼は病院でしばらく過ごし、1918年に心臓発作で療養所で亡くなりました。

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皮肉なことに、ミターク＝レフラーがカントールに自分は時代の 1 世紀先を行っていると語ったのは本質的に正しかったのです。カントールのアイデアは次第に受け入れられるようになりましたが、集合論が数学に最も大きな影響を与えたのは 1950 年代か1960 年代になってからです。、ニコラ・ブルバキと名乗る科学者グループによって促進された、数学への抽象的なアプローチの開花があったとき。それ以来、数学教育に対するブルバキの影響は(幸いなことに)沈静化したが、数学的概念は正確に定義され、可能な限り一般的に定義されるべきであるというグループの一部であった数学者の確信は依然として保たれている. そして、精度と一般性の基礎は、ゲオルグ・カントールのお気に入りの集合によって提供される位置です。今日、数学のあらゆる分野は、理論的であろうと応用であろうと、集合論の正式な規定にしっかりと基づいています。哲学的にだけでなく、実践的にも。集合の言語がなければ、今日の数学者は、実際に何について話しているのかを示すことさえできないでしょう.

したがって、子孫の評決は次のとおりです。はい、実際には集合論と超限数に関する哲学的な問題がありますが、それらはクロネッカーがとても愛した整数に関する同様の哲学的な問題よりも良くも悪くもありません。それらも人間の手によるものであり、人間の手による仕事に欠陥がないことはめったにありません。皮肉なことに、今日、私たちは集合論を使って整数を定義しています。我々は、カントールを数学の真の風変わりで独創的な人物の 1 人だと考えています。彼が集合論を思いつかなかったとしたら、やがて他の誰かがそれをやったでしょうが、同じまれな力の組み合わせを持つ別の人が現れるまでには、おそらく12年以上かかっていたでしょう。