ゴールドバッハ問題

2より大きい偶数は、2つの素数の和として表すことができます。

Проблема Гольдбаха

最も単純な数学的ステートメントが、証明するのが最も難しい場合があります。フェルマーの最終定理が最終的に証明されたのは、定式化から数百年後の 20 世紀の終わりになってからのことです。数学者がまだ証明できない、フェルマーの定理にいくぶん似た別のステートメントがあります。これはゴールドバッハ問題と呼ばれ、このステートメントの定式化は非常に簡単です。2 より大きいすべての偶数は 2 つの素数の和として表現できるということです。(素数 とは、1および自分自身のほかに約数をもたない数です。したがって、2、3、5、7 は素数ですが、4 (2 x 2)、6 (3 x 2)、9 (3 x 3) はそうではありません。) このステートメントは、1742 年に Christian Goldbach によって最初に提唱されました。偶数 10は、7 + 3 の和として書くことができます。ここで、7 と 3 は素数です。あまり知られていないゴールドバッハの主張のもう 1 つの定式化は、9 以上の奇数は 3 つの素数の和として表すことができるというものです (たとえば、13 = 7 + 3 + 3 = 5 + 5 + 3)。
ゴールドバッハがこの予想を提唱して以来、数学者は、フェルマーの最終定理と同様に、この予想が正しいことを疑いませんでした。しかし、フェルマーの定理とは異なり、誰もそれを証明できたと主張したことはありません。この問題を解決するための正面からのアプローチがあります - 長い間、このステートメントをより大きな偶数で順番にチェックするコンピュータープログラムを実行することです。このようにして、定理が成り立たないなら、その反証をあげることができます。しかし、成立することの証明は難しい：プログラムが次のステップでテストする数が、最初の例外になるかも知れないという単純な理由です。実際、ゴールドバッハの問題は、少なくとも 100,000 までのすべての偶数に対して真であることがわかっています。
1930 年代に、ロシアの数学者のグループが、任意の偶数をn以下の素数項の和として表すことができるような有限のnが存在すること、およびゴールドバッハ予想が偶数の大規模なクラスに当てはまることを確立しました。しかし、定理の証明はまだ見つかっていません。
なぜ数学者はフェルマーの最終定理やゴールドバッハの問題のような問題を解くのに多くの時間を費やすのでしょうか? 結局のところ、これには実際的な意味はなく、その解から利益を引き出すことはできません。私の意見では、これは、非常に古い、人間活動に特徴的な性質で、自明で議論の余地のない真実の探求なのです。哲学者たちは何千年もの間、真実を探し求めてきました。数学者は、純粋な論理に基づくシステムを操り、そのような真実を発見したいと考えています。そして、これらの証明を達成するのが非常に困難であるという事実は、おそらく、数学自体の特性ではなく、論理の性質そのもの、この信頼できない、変化しやすい世界で真実を見つけることが不可能であることによって説明されます.

訳者注）この種の問題が困難なのは，常に増大する新しい集合全体を考察の対象にしなければならないからです。ある集合で証明が確立すれば、それを土台に考察対称の集合を拡張していく数学的帰納法を働かせることはできません。

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クリスチャン・ゴールドバッハ、1690-1764

ドイツの数学者。プロイセンのケーニヒスベルク（現ロシア・カリーニングラード）生まれ。1725 年に彼はサンクトペテルブルクで数学の教授になり、3 年後には将来の皇帝ピョートル 2 世の家庭教師としてモスクワに来ました。ヨーロッパ旅行中、ゴールドバッハは、ゴットフリート ライプニッツ、アブラハム ド モアヴル、ベルヌーイ家など、当時の主要な数学者の多くに会いました。彼の論文の多くは、スイスの偉大な数学者レオンハルト・オイラー (1707–83) とのやり取りから生まれました。私たちが現在ゴールドバッハの問題と呼んでいる主張は、1742 年にゴールドバッハからオイラーへの手紙の中で最初に提起されました。
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10=3+7
12=1+11=5+7
14=1+13=3+11=7+7
16=3+13=5+11
18=1+17=5+13=7+11
20=1+19=3+17=7+13
22=3+19=5+17=11+11

9=3+3+3=1+3+5
11=3+3+5=1+5+5
13=3+3+7=3+5+5
15=3+5+7=5+5+5=1+7+7
17=5+5+7=3+7+7=1+3+13=1+5+11=3+3+11
19=1+1+17=1+5+13=3+3+13=1+7+11=3+5+11=5+7+7