Fourier Series (フーリエ級数)

基本となる定義

$${2\pi}$$の周期をもつ関数$${f(x)}$$について、
$${f(x) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{nx} + b_n\sin{nx})}$$

また各係数は以下の式で抽出される。
$${a_0 = {\frac 1 {2\pi}}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi{f(x)dx}}$$
$${a_n = {\frac 1 \pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi{f(x)\cos{nx}dx}  ,    b_n = {\frac 1 \pi}\displaystyle\int_{-\pi}^\pi{f(x)\sin{nx}dx}}$$

任意の周期に対して一般化する

任意の周期$${2L}$$について、
$${\displaystyle{\frac x \pi = \frac y L}}$$
となる$${y}$$を定める(周期と変数の比をそろえる)。
このとき$${x = {\frac \pi L}y}$$であるので、上式は$${y}$$の関数として
$${f(y) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{\frac {n\pi} L}y + b_n\sin{\frac {n\pi} L}y)}$$
と表せる。$${y}$$を$${x}$$で置き換えて
$${f(x) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{\frac {n\pi} L}x + b_n\sin{\frac {n\pi} L}x)}$$
すなわち、変数に$${\frac \pi L}$$を掛けて比率を調整したものとなる。
抽出式も同様に、周期と変数を置き換えればよい。($${\pi \rarr L}$$、$${x \rarr {\frac \pi L}x}$$にする。)