Mie散乱（２） - 式の各項
３．anとbn
3.1 再掲[1]
$$
a_n=\frac{\psi_n^{'}(y)\psi_n(x)-m\psi_n(y)\psi_n^{'}(x)}{\psi_n^{'}(y)\zeta_n(x)-m\psi_n(y)\zeta_n^{'}(x)}
$$
$$
b_n=\frac{m\psi_n^{'}(y)\psi_n(x)-\psi_n(y)\psi_n^{'}(x)}{m\psi_n^{'}(y)\zeta_n(x)-\psi_n(y)\zeta_n^{'}(x)}
$$
$$
(n=1,2,3,….,\infty)
$$
$$
x=ka, y=mka
$$
$${a}$$：粒子の半径、$${k}$$：波数ベクトル、$${m(=n_1/n_0)}$$：粒子の媒質に対する相対屈折率（$${n_1}$$：粒子の屈折率（吸収がある場合は複素数）、$${n_0}$$：溶媒の屈折率）
※$${a_n}$$と$${b_n}$$は複素数で、粒子径、溶媒の屈折率、粒子の屈折率及び光の波長に依存します。
3.2 特殊関数を適用 [2]
$${\psi_n(x)=xj_n(x)}$$ ←球ベッセル関数$${j_n(x)}$$より計算
$${\psi_n(y)=yj_n(y)}$$ ←球ベッセル関数$${j_n(y)}$$より計算
$${\zeta_n(x)=xj_n(x)-ixn_n(x)}$$ ←球ベッセル関数$${j_n(x)}$$、球ノイマン関数$${n_n(x)}$$より計算
3.3 微分は漸化式を利用 [2]
$$
\psi_n^{'}(x)=-\frac{n}{x}\psi_n(x)+\psi_{n-1}(x)
$$
$$
\psi_n^{'}(y)=-\frac{n}{y}\psi_n(y)+\psi_{n-1}(y)
$$
$$
\zeta_n^{'}(x)=-\frac{n}{x}\zeta_n(x)+\zeta_{n-1}(x)
$$
3.4 漸化式の証明
n次の球ベッセル関数に対して次の漸化式が成り立つ（例では$${j_n(x)}$$を示すが、$${n_n(x)}$$など他の球ベッセル関数でも同様）[2]：
$$
j_n^{'}(z)=j_{n-1}(z)-\frac{n+1}{z}j_{n}(z)
$$
これを以下の式に代入します：
$$
\psi_n^{'}(z)=j_n(z)+zj_n^{'}(z)=j_n(z)+z(j_{n-1}(z)-\frac{n+1}{z}j_{n}(z))
$$
$$
=-nj_n(z)+zj_{n-1}(z)=-\frac{n}{z}\psi_n(z)+\psi_{n-1}(z)
$$
よって、
$$
\psi_n^{'}(z)=-\frac{n}{z}\psi_n(z)+\psi_{n-1}(z)
$$
※上式は複素数$${z}$$に対して一般的に成立します。
４．πnとτn
4.1 再掲
$$
\pi_n(\cos\theta)=\frac{1}{\sin\theta}P_n^1(\cos\theta)
$$
$$
\tau_n(\cos\theta)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}P_n^1(\cos\theta)
$$
$${P_n^{m}(z)}$$：ルジャンドル陪関数（associated Legendre function）
4.2 漸化式を利用する
$$
\pi_n(\cos\theta)=\frac{2n-1}{n-1}\cos\theta\pi_{n-1}(\cos\theta)-\frac{n}{n-1}\pi_{n-2}(\cos\theta), (n\geq3)
$$
$$
\tau_n(\cos\theta)=n\cos\theta\pi_n(\cos\theta)-(n+1)\pi_{n-1}(\cos\theta), (n\geq3)
$$
4.3 最初の２項（n=1,2）
$$
\pi_1(\cos\theta)=\frac{1}{\sin\theta}P_1^{1}(\cos\theta)=\frac{1}{\sin\theta}\sin\theta=1
$$
$$
\pi_2(\cos\theta)=\frac{1}{\sin\theta}P_2^{1}(\cos\theta)=\frac{1}{\sin\theta}\cdot3\sin\theta\cos\theta=3\cos\theta
$$
$$
\tau_1(\cos\theta)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}P_1^{1}(\cos\theta)=\frac{\mathrm{d}\sin\theta}{\mathrm{d}\theta}=\cos\theta
$$
$$
\tau_2(\cos\theta)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}P_2^{1}(\cos\theta)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}3\sin\theta\cos\theta=6\cos^2\theta-3
$$
4.4 漸化式の証明
ルジャンドルの陪関数の漸化式[2]：
$$
(\nu-\mu+1)P_{\nu+1}^{\mu}(z)-(2\nu+1)zP_\nu^{\mu}(z)+(\nu+\mu)P_{\nu-1}^{\mu}(z)=0
$$
この漸化式を使うと、
$$
\pi_{n+1}(\cos\theta)=\frac{1}{\sin\theta}P_{n+1}^{1}(\cos\theta)
$$
$$
=\frac{1}{\sin\theta}\{\frac{2n+1}{n}\cos\theta P_n^{1}(\cos\theta)-\frac{n+1}{n}P_{n-1}^{1}(\cos\theta)\}
$$
$$
=\frac{2n+1}{n}\cos\theta\frac{1}{\sin\theta}P_n^{1}(\cos\theta)-\frac{n+1}{n}\frac{1}{\sin\theta}P_{n-1}^{1}(\cos\theta)
$$
$$
=\frac{2n+1}{n}\cos\theta\pi_n(\cos\theta)-\frac{n+1}{n}\pi_{n-1}(\cos\theta)
$$
$${n+1}$$を$${n}$$と置き換えれば、$${\pi_n(\cos\theta)}$$の漸化式を得ます。
4.5 πn、τnのグラフ
文献
[1] H. C. van de Hulst, "Light Scattering by Small Particles", Dover, New York, 1981.
[2] 森口繁一、宇田川銈久、一松信、数学公式Ⅲ（岩波全書）、岩波書店、1960．
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