小角X線散乱（SAXS）（6）- 【演習】 球対称の構造因子F(h)

球対称の電子密度分布をもつ物体の構造因子F(h)を計算する練習問題です。

【演習】 球対称の構造因子F(h)

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粒子が球対称（電子密度が方角によらない）の場合、構造因子$${F(\boldsymbol{h})}$$が次式に書けることを示せ：

$$
F(h)=4\pi \displaystyle \int_0^\infty\rho(r)r^2\displaystyle\frac{\sin{hr}}{hr}\mathrm{d}r
$$

$${\rho (r)}$$：原点から距離$${r}$$離れた場所の電子密度、$${h}$$：散乱ベクトル$${\boldsymbol{h}}$$の大きさ

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【解説】

構造因子$${F(\boldsymbol{h})}$$の定義は[1]、

$$
F(\boldsymbol{h}) = \displaystyle \int_V \rho(\boldsymbol{r})e^{-i\boldsymbol{h} \cdot \boldsymbol{r}}\mathrm{d} \boldsymbol{r}
$$

$${V}$$：粒子の占める領域、$${\rho(\boldsymbol{r})}$$：位置$${\boldsymbol{r}}$$での電子密度、$${\boldsymbol{h}}$$：散乱ベクトル、$${\mathrm{d} \boldsymbol{r}}$$：体積要素

極座標$${(r,\theta, \varphi)}$$で考えます。球対称であるから、電子密度$${\rho (\boldsymbol{r})}$$が$${\theta}$$と$${\varphi}$$によらないで、動径$${r}$$だけに依存します。つまり、$${\rho(\boldsymbol{r})=\rho(r)}$$。極座標の体積要素$${\mathrm{d} \boldsymbol{r}}$$は、$${r^2\sin\theta \mathrm{d}r \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi}$$となるから[2]、

$$
\rho(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \boldsymbol{r} = \rho(r) r^2 \sin\theta \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi
$$

図1のように、散乱ベクトル$${\boldsymbol{h}}$$が$${z}$$軸上にあるように座標軸を設定します：

図1 極座標系

$$
F(\boldsymbol{h}) = \displaystyle \int_0^\infty \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \rho(r) e^{-i\boldsymbol{h} \cdot \boldsymbol{r}} r^2 \sin\theta \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi 
$$

$${\varphi}$$は被積分関数$${\rho(r) r^2 \sin\theta}$$に無関係（独立）だから、独立に積分できて$${2\pi}$$。次に$${\theta}$$について積分を実行します（$${[ \cdots ]}$$の中）：

$$
F(\boldsymbol{h}) = 2\pi\displaystyle \int_0^\infty \rho (r) r^2 \left[ \int_0^\pi e^{-ihr\cos\theta} \sin\theta\mathrm{d}\theta \right] \mathrm{d}r
$$

ここで、ベクトルの内積$${\boldsymbol{h} \cdot \boldsymbol{r}}$$に対して、$${\boldsymbol{h} \cdot \boldsymbol{r}=hr\cos\theta}$$を用いました。

$${x=\cos\theta}$$とおくと、$${\mathrm{d}x=-\sin\theta \mathrm{d}\theta}$$だから、

$$
\displaystyle \int_0^\pi e^{-ihr\cos\theta} \sin\theta\mathrm{d}\theta = \displaystyle \int_1^{-1} e^{-ihrx} (-\mathrm{d}x)=\displaystyle \int_{-1}^1 e^{-ihrx} \mathrm{d}x = \displaystyle \left[\frac{e^{-ihrx}}{-ihr} \right]_{-1}^1 = \\ =\dfrac{e^{-ihr}-e^{ihr}}{-ihr} =\dfrac{2}{hr} \times \frac{e^{ihr}-e^{-ihr}}{2i} = \dfrac{2\sin hr}{hr}　\;\;\;\; [3]
$$

こうして、

$$
F(h)=4\pi \displaystyle \int_0^\infty \rho(r)r^2 \frac{\sin hr}{hr} \mathrm{d}r \;\;\;\;\;\; （答）
$$

$${F(\boldsymbol{h})}$$は、散乱ベクトル$${\boldsymbol{h}}$$の大きさ$${h}$$だけに依存します。

（終）

文献

[1] 小角X線散乱（SAXS）（1） - 基本的なこと（note記事）
[2] 小角X線散乱（SAXS）（5）- 座標系と体積要素（体積素片）dr（note記事）
[3] 正弦関数（sin）の複素数表現は、

$$
\sin z = \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}
$$

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